Question

La parábola que representa la siguiente función: y = mx2 + nx + -1, pasa por los puntos P1 (0, -1) ,P2 (-1,5) y P3 (1,-3). Halle el vértice de la función

Answer 1

Answer:

El vértice de la función $y = 2\cdot x^{2} - 4\cdot x -1$ es (1, -3).

Explanation:

Toda parábola con eje de simetría paralelo al eje de la variable dependiente se representa por el siguiente polinomio:

$y = a\cdot x^{2} + b\cdot x + c$

Donde a, b y c son las constantes del polinomio, así como x y y son las variables independiente y dependiente, respectivamente. Algebraicamente hablando, se requiere conocer tres puntos para obtener la ecuación particular por resolución de las constantes del polinomio. Esto es:

$P_{1} (x,y) = (0,-1)$

$-1 = c$

$P_{2} (x,y) = (-1,5)$

$5 = a -b + c$

$P_{3}(x,y) = (1,-3)$

$-3 = a + b + c$

La solución del sistema de ecuaciones lineales es:

$a = 2$, $b = -4$, $c = -1$

La ecuación de la parábola es $y = 2\cdot x^{2} - 4\cdot x -1$. Ahora, la ecuación estándar de la parábola tiene la siguiente forma:

$y - k = C \cdot (x-h)^{2}$

Donde:

$C$ - Constante de vértice, adimensional. C > 0 si el vértice es un mínimo absoluto y C < 0 si es un máximo absoluto.

$h$, $k$ - Componentes horizontal y vertical de la ubicación del vértice, adimensionales.

Se transforma el resultado anterior a la forma estándar por métodos algebraicos:

i) $y = 2\cdot x^{2} - 4\cdot x -1$ Dado

ii) $y + 1 = 2\cdot x^{2}-4\cdot x$ Compatibilidad con la adición/Existencia de Inverso Aditivo/Conmutatividad de la adición/Modulatividad de la adición.

iii) $y+1 = 2\cdot [x^{2}-2\cdot x +1 +(-1)]$ Modulatividad de la adición/Compatibilidad con la adición/Existencia del Inverso Aditivo.

iv) $y+1 = 2\cdot [(x-1)^{2}-1]$ Asociatividad de la adición/Trinomio cuadrado perfecto.

v) $y+1 = 2\cdot (x-1)^{2} - 2$ Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición/Multiplicación.

vi) $y+3 = 2\cdot (x-1)^{2}$ Compatibilidad con la adición/Existencia del Inverso Aditivo/Modulatividad de la adición. Resultado.

Tras revisar directamente en el resultado, se encuentra que el vértice de la función es (1, -3).