Question

Combine Radicals/Fractional Exponents

Answer 1

$\mathsf{Given :\;\;\dfrac{5x^{\dfrac{-3}{2}}y^{-2}}{\sqrt[3]{64x^3y^3}}}$

$\mathsf{\implies \dfrac{5x^{\dfrac{-3}{2}}y^{-2}}{\sqrt[3]{4^3x^3y^3}}}$

$\mathsf{\implies \dfrac{5x^{\dfrac{-3}{2}}y^{-2}}{\sqrt[3]{(4xy)^3}}}$

$\bigstar\;\;\textsf{We know that : \boxed{\mathsf{\sqrt[n]{a} = a^{\dfrac{1}{n}}}}}$

$\mathsf{\implies \dfrac{5x^{\dfrac{-3}{2}}y^{-2}}{{(4xy)^{\dfrac{3}{3}}}}}$

$\mathsf{\implies \dfrac{5x^{\dfrac{-3}{2}}y^{-2}}{{4xy}}}$

$\mathsf{\implies \left(\dfrac{5}{4}\right) \left(\dfrac{x^{\dfrac{-3}{2}}}{{x}}\right)\left(\dfrac{y^{-2}}{y}\right)}$

$\bigstar\;\;\textsf{We know that : \boxed{\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}}}}$

$\mathsf{\implies \left(\dfrac{5}{4}\right) x^{\left(\dfrac{-3}{2} - 1\right)}}y^{(-2 - 1)}}$

$\mathsf{\implies \left(\dfrac{5}{4}\right) x^{\left(\dfrac{-3 - 2}{2}\right)}}y^{-3}}$

$\mathsf{\implies \left(\dfrac{5}{4}\right) x^{\left(\dfrac{-5}{2}\right)}}y^{-3}}$

$\textsf{Comparing the above with \mathbf{ax^by^c} , We can notice that :}$

$\bigstar\;\;\mathsf{a = \dfrac{5}{4}}$

$\bigstar\;\;\mathsf{b = \dfrac{-5}{2}}$

$\bigstar\;\;\mathsf{c = -3}$

$\implies \mathsf{Product\;of\;a,\;b\;and\;c = \left(\dfrac{5}{4}\times \dfrac{-5}{2} \times -3\right)}$

$\implies \mathsf{Product\;of\;a,\;b\;and\;c = \dfrac{75}{8}}$