2 sin(<em>x</em>) + 3 > sin²(<em>x</em>)
0 > sin²(<em>x</em>) - 2 sin(<em>x</em>) - 3
0 > (sin(<em>x</em>) - 3) (sin(<em>x</em>) + 1)
The right side is 0 when either
sin(<em>x</em>) - 3 = 0 or sin(<em>x</em>) + 1 = 0
sin(<em>x</em>) = 3 or sin(<em>x</em>) = -1
The first case offers no real solutions, so we're left with
sin(<em>x</em>) = -1
which happens for
<em>x</em> = -<em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em>
where <em>n</em> is any integer.
In the interval 0 ≤ <em>x</em> ≤ 2<em>π</em>, the expression is 0 for <em>x</em> = 3<em>π</em>/2 (when <em>n</em> = 1). So check the sign of the expression when <em>x</em> is picked from two different intervals:
• If 0 ≤ <em>x</em> < 3<em>π</em>/2, then sin(<em>x</em>) - 3 < 0 and sin(<em>x</em>) + 1 > 0, so their product sin²(<em>x</em>) - 2 sin(<em>x</em>) - 3 < 0.
• If 3<em>π</em>/2 < <em>x</em> ≤ 2<em>π</em>, then sin(<em>x</em>) - 3 < 0 and sin(<em>x</em>) + 1 > 0, so the product is again negative.
In both cases, sin²(<em>x</em>) - 2 sin(<em>x</em>) - 3 < 0, so we have the solution set
0 ≤ <em>x</em> < 3<em>π</em>/2 and 3<em>π</em>/2 < <em>x</em> ≤ 2<em>π</em>
Another way to arrive at the same conclusion:
0 > sin²(<em>x</em>) - 2 sin(<em>x</em>) - 3
Recall the half-angle identity for sin:
sin²(<em>x</em>) = (1 - cos(2<em>x</em>))/2
So we have
0 > (1 - cos(2<em>x</em>))/2 - 2 sin(<em>x</em>) - 3
0 > -cos(2<em>x</em>) - 4 sin(<em>x</em>) - 7
0 < cos(2<em>x</em>) + 4 sin(<em>x</em>) + 7
Both sin(<em>x</em>) and cos(<em>x</em>) are bounded between -1 and 1. If they are both minimized, so that cos(2<em>x</em>) = sin(<em>x</em>) = -1, then the right side is at least
-1 + 4(-1) + 7 = 2
so the inequality holds for all <em>x</em> in the interval, except for <em>x</em> = 3<em>π</em>/2.