For the first equation, recall that sin²(<em>θ</em>) = (1 - cos(2<em>θ</em>))/2. Then
2 sin²(<em>θ</em>) = 2 + cos(2<em>θ</em>)
1 - cos(2<em>θ</em>) = 2 + cos(2<em>θ</em>)
2 cos(2<em>θ</em>) = -1
cos(2<em>θ</em>) = -1/2
2<em>θ</em> = arccos(-1/2) + 2<em>nπ</em> <u>or</u> 2<em>θ</em> = 2<em>π</em> - arccos(-1/2) + 2<em>nπ</em>
(where <em>n</em> is any integer)
2<em>θ</em> = 2<em>π</em>/3 + 2<em>nπ</em> <u>or</u> 2<em>θ</em> = 4<em>π</em>/3 + 2<em>nπ</em>
<em>θ</em> = <em>π</em>/3 + <em>nπ</em> <u>or</u> <em>θ</em> = 2<em>π</em>/3 + <em>nπ</em>
In the interval [0, 2<em>π</em>), the solutions are <em>θ</em> = <em>π</em>/3, 2<em>π</em>/3, 4<em>π</em>/3, 5<em>π</em>/3.
For the second equation, rearrange the previous identity to arrive at
cos(2<em>θ</em>) = 1 - 2 sin²(<em>θ</em>) = 2 cos²(<em>θ</em>) - 1
Then
cos(2<em>θ</em>) + 7 cos(<em>θ</em>) = 8
2 cos²(<em>θ</em>) - 1 + 7 cos(<em>θ</em>) = 8
2 cos²(<em>θ</em>) + 7 cos(<em>θ</em>) - 9 = 0
(2 cos(<em>θ</em>) + 9) (cos(<em>θ</em>) - 1) = 0
2 cos(<em>θ</em>) + 9 = 0 <u>or</u> cos(<em>θ</em>) - 1 = 0
cos(<em>θ</em>) = -9/2 <u>or</u> cos(<em>θ</em>) = 1
Since |-9/2| > 1, and cos(<em>θ</em>) is bounded between -1 and 1, the first case offers no solutions. This leaves us with
cos(<em>θ</em>) = 1
<em>θ</em> = arccos(1) + 2<em>nπ</em>
<em>θ</em> = 2<em>nπ</em>
so that there is only one solution in [0, 2<em>π</em>), <em>θ</em> = 0.