Question

Calculus 2. Please help

Answer 1

Answer:

$\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}}} \, dx = \infty$

General Formulas and Concepts:

Algebra I

• Exponential Rule [Rewrite]:                                                                           $\displaystyle b^{-m} = \frac{1}{b^m}$

Calculus

Limits

• Right-Side Limit:                                                                                             $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$

Limit Rule [Variable Direct Substitution]:                                                             $\displaystyle \lim_{x \to c} x = c$

Derivatives

Derivative Notation

Basic Power Rule:

• f(x) = cxⁿ
• f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Integrals

• Definite Integrals

Integration Constant C

Integration Rule [Fundamental Theorem of Calculus 1]:                                     $\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         $\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx$

U-Substitution

U-Solve

Improper Integrals

Exponential Integral Function:                                                                              $\displaystyle \int {\frac{e^x}{x}} \, dx = Ei(x) + C$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx$

Step 2: Integrate Pt. 1

1. [Integral] Rewrite [Exponential Rule - Rewrite]:                                          $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \int\limits^1_0 {\frac{e^{-x^2}}{x} \, dx$
2. [Integral] Rewrite [Improper Integral]:                                                         $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} \int\limits^1_a {\frac{e^{-x^2}}{x} \, dx$

Step 3: Integrate Pt. 2

Identify variables for u-substitution.

1. Set:                                                                                                                 $\displaystyle u = -x^2$
2. Differentiate [Basic Power Rule]:                                                                 $\displaystyle \frac{du}{dx} = -2x$
3. [Derivative] Rewrite:                                                                                     $\displaystyle du = -2x \ dx$

Rewrite u-substitution to format u-solve.

1. Rewrite du:                                                                                                     $\displaystyle dx = \frac{-1}{2x} \ dx$

Step 4: Integrate Pt. 3

1. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} -\int\limits^1_a {-\frac{e^{-x^2}}{x} \, dx$
2. [Integral] Substitute in variables:                                                                 $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} -\int\limits^1_a {\frac{e^{u}}{-2u} \, du$
3. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} \frac{1}{2}\int\limits^1_a {\frac{e^{u}}{u} \, du$
4. [Integral] Substitute [Exponential Integral Function]:                                 $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} \frac{1}{2}[Ei(u)] \bigg| \limits^1_a$
5. Back-Substitute:                                                                                             $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} \frac{1}{2}[Ei(-x^2)] \bigg| \limits^1_a$
6. Evaluate [Integration Rule - FTC 1]:                                                             $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} \frac{1}{2}[Ei(-1) - Ei(a)]$
7. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} \frac{Ei(-1) - Ei(a)}{2}$
8. Evaluate limit [Limit Rule - Variable Direct Substitution]:                           $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx = \infty$

∴  $\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{1}{xe^{x^2}} \, dx$  diverges.

Topic: Multivariable Calculus