Question

Help with num 1 please.​

Answer 1

Answer:

(i)  $\displaystyle y' = (6x - 1)ln(2x + 1) + \frac{2x(3x - 1)}{2x + 1}$

(ii)  $\displaystyle y' = \frac{2x}{ln(x)} - \frac{x^2 + 2}{x(lnx)^2}$

(iii)  $\displaystyle y' = \frac{e^x[xln(2x) + 1]}{x}$

General Formulas and Concepts:

Calculus

Differentiation

• Derivatives
• Derivative Notation

Derivative Property [Multiplied Constant]:                                                           $\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)$

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                         $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)]$  

Basic Power Rule:

1. f(x) = cxⁿ
2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹  

Derivative Rule [Product Rule]:                                                                             $\displaystyle \frac{d}{dx} [f(x)g(x)]=f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$

Derivative Rule [Quotient Rule]:                                                                           $\displaystyle \frac{d}{dx} [\frac{f(x)}{g(x)} ]=\frac{g(x)f'(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}$

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                 $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Exponential Differentiation

Logarithmic Differentiation

Step-by-step explanation:

(i)

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle y = (3x^2 - x)ln(2x + 1)$

Step 2: Differentiate

1. Product Rule:                                                                                                 $\displaystyle y' = (3x^2 - x)'ln(2x + 1) + (3x^2 - x)[ln(2x + 1)]'$
2. Basic Power Rule/Logarithmic Differentiation [Chain Rule]:                       $\displaystyle y' = (6x - 1)ln(2x + 1) + (3x^2 - x)\frac{1}{2x + 1}(2x + 1)'$
3. Basic Power Rule:                                                                                         $\displaystyle y' = (6x - 1)ln(2x + 1) + (3x^2 - x)\frac{2}{2x + 1}$
4. Simplify [Factor]:                                                                                           $\displaystyle y' = (6x - 1)ln(2x + 1) + \frac{2x(3x - 1)}{2x + 1}$

(ii)

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle y = \frac{x^2 + 2}{lnx}$

Step 2: Differentiate

1. Quotient Rule:                                                                                               $\displaystyle y' = \frac{(x^2 + 2)'lnx - (x^2 + 2)(lnx)'}{(lnx)^2}$
2. Basic Power Rule/Logarithmic Differentiation:                                           $\displaystyle y' = \frac{2xlnx - (x^2 + 2)\frac{1}{x}}{(lnx)^2}$
3. Rewrite:                                                                                                         $\displaystyle y' = \frac{2xlnx}{(lnx)^2} - \frac{(x^2 + 2)\frac{1}{x}}{(lnx)^2}$
4. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle y' = \frac{2x}{ln(x)} - \frac{x^2 + 2}{x(lnx)^2}$

(iii)

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle y = e^xln(2x)$

Step 2: Differentiate

1. Product Rule:                                                                                                 $\displaystyle y' = (e^x)'ln(2x) + e^x[ln(2x)]'$
2. Exponential Differentiation/Logarithmic Differentiation [Chain Rule]:       $\displaystyle y' = e^xln(2x) + e^x(\frac{1}{2x})(2x)'$
3. Basic Power Rule:                                                                                         $\displaystyle y' = e^xln(2x) + e^x(\frac{1}{2x})2$
4. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle y' = e^xln(2x) + \frac{e^x}{x}$
5. Rewrite:                                                                                                         $\displaystyle y' = \frac{xe^xln(2x) + e^x}{x}$
6. Factor:                                                                                                           $\displaystyle y' = \frac{e^x[xln(2x) + 1]}{x}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Differentiation

Book: College Calculus 10e