Base case (<em>n</em> = 1):
• left side = 1×2² = 4
• right side = 1×(1 + 1)×(3×1² + 11×1 + 10)/12 = 4
Induction hypothesis: Assume equality holds for <em>n</em> = <em>k</em>, so that
1×2² + 2×3² + 3×4² + … + <em>k</em> × (<em>k</em> + 1)² = <em>k</em> × (<em>k</em> + 1) × (3<em>k</em> ² + 11<em>k</em> + 10)/12
Induction step (<em>n</em> = <em>k</em> + 1):
1×2² + 2×3² + 3×4² + … + <em>k</em> × (<em>k</em> + 1)² + (<em>k</em> + 1) × (<em>k</em> + 2)²
= <em>k</em> × (<em>k</em> + 1) × (3<em>k</em> ² + 11<em>k</em> + 10)/12 + (<em>k</em> + 1) × (<em>k</em> + 2)²
= (<em>k</em> + 1)/12 × (<em>k</em> × (3<em>k</em> ² + 11<em>k</em> + 10) + 12 × (<em>k</em> + 2)²)
= (<em>k</em> + 1)/12 × ((3<em>k</em> ³ + 11<em>k</em> ² + 10<em>k</em>) + 12 × (<em>k</em> ² + 4<em>k</em> + 4))
= (<em>k</em> + 1)/12 × (3<em>k</em> ³ + 23<em>k</em> ² + 58<em>k</em> + 48)
= (<em>k</em> + 1)/12 × (3<em>k</em> ³ + 23<em>k</em> ² + 58<em>k</em> + 48)
On the right side, we want to end up with
(<em>k</em> + 1) × (<em>k</em> + 2) × (3 (<em>k</em> + 1) ² + 11 (<em>k</em> + 1) + 10)/12
which suggests that <em>k</em> + 2 should be factor of the cubic. Indeed, we have
3<em>k</em> ³ + 23<em>k</em> ² + 58<em>k</em> + 48 = (<em>k</em> + 2) (3<em>k</em> ² + 17<em>k</em> + 24)
and we can rewrite the remaining quadratic as
3<em>k</em> ² + 17<em>k</em> + 24 = 3 (<em>k</em> + 1)² + 11 (<em>k</em> + 1) + 10
so we would arrive at the desired conclusion.
To see how the above rewriting is possible, we want to find coefficients <em>a</em>, <em>b</em>, and <em>c</em> such that
3<em>k</em> ² + 17<em>k</em> + 24 = <em>a</em> (<em>k</em> + 1)² + <em>b</em> (<em>k</em> + 1) + <em>c</em>
Expand the right side and collect like powers of <em>k</em> :
3<em>k</em> ² + 17<em>k</em> + 24 = <em>ak</em> ² + (2<em>a</em> + <em>b</em>) <em>k</em> + <em>a</em> + <em>b</em> + <em>c</em>
==> <em>a</em> = 3 and 2<em>a</em> + <em>b</em> = 17 and <em>a</em> + <em>b</em> + <em>c</em> = 24
==> <em>a</em> = 3, <em>b</em> = 11, <em>c</em> = 10