You use 44 gallons of water on 14 plants in your garden. At this rate, how much water will it take to water 35 plant
1 answer:
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Let <em>a</em> (<em>n</em>) denote the <em>n</em>-th term in the progression. Consecutive terms in the sequence differ by a fixed constant - call it <em>c</em> - such that
<em>a</em> (<em>n</em>) = <em>a</em> (<em>n</em> - 1) + <em>c</em>
Let <em>a</em> = <em>a</em> (1) be the first term in the sequence. We can solve for <em>a</em> (<em>n</em>) in terms of <em>a</em> alone:
<em>a</em> (<em>n</em>) = <em>a</em> (<em>n</em> - 1) + <em>c</em>
<em>a</em> (<em>n</em>) = (<em>a</em> (<em>n</em> - 2) + <em>c</em>) + <em>c</em> = <em>a</em> (<em>n</em> - 2) + 2<em>c</em>
<em>a</em> (<em>n</em>) = (<em>a</em> (<em>n</em> - 3) + <em>c</em>) + <em>c</em> = <em>a</em> (<em>n</em> - 3) + 3<em>c</em>
and so on, down to
<em>a</em> (<em>n</em>) = <em>a</em> + (<em>n</em> - 1) <em>c</em>
The sum of the first <em>n</em> terms is then
Since this is equal to 3<em>n</em> ^2 + 5<em>n</em>, it follows that
<em>c</em>/2 = 3 => <em>c</em> = 6
<em>a</em> - <em>c</em>/2 = 5 => <em>a</em> = 8
So the sequence is
<em>a</em> (<em>n</em>) = 8 + (<em>n</em> - 1) 6 = 6<em>n</em> + 2