Both <em>a</em> and <em>b</em> lie in the second quadrant, which means
<em>π</em>/2 < <em>a</em> < <em>π</em>
<em>π</em>/2 < <em>b</em> < <em>π</em>
for which we have both cos(<em>a</em>) and cos(<em>b</em>) negative, while both sin(<em>a</em>) and sin(<em>b</em>) are positive. We're also given that
cos(<em>a</em>) = -2/3
csc(<em>b</em>) = 2 => sin(<em>b</em>) = 1/2
Now, recall the following identities:
• sin^2(<em>x</em>) + cos^2(<em>x</em>) = 1
• sin(<em>x</em> + <em>y</em>) = sin(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) + cos(<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
• cos(<em>x</em> + <em>y</em>) = cos(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) - sin(<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
• tan(<em>x</em>) = sin(<em>x</em>)/cos(<em>x</em>)
Now,
sin(<em>a</em> + <em>b</em>) = sin(<em>a</em>) cos(<em>b</em>) + cos(<em>a</em>) sin(<em>b</em>)
… = √(1 - cos^2(<em>a</em>)) (-√(1 - sin^2(<em>b</em>))) + cos(<em>a</em>) sin(<em>b</em>)
* * where we take the negative square root because we expect cos(<em>b</em>) < 0 * *
… = - √(1 - (-2/3)^2) √(1 - (1/2)^2) + (-2/3) (1/2)
… = - √(1 - 4/9) √(1 - 1/4) - (2/3) (1/2)
… = - √(5/9) √(3/4) - 1/3
… = - (√5/3) (√3/2) - 1/3
… = -√15/6 - 1/3
… = -(√15 + 2) / 6
From the above, we know sin(<em>a</em>) = √5/3 and cos(<em>b</em>) = -√3/2. Then
cos(<em>a</em> + <em>b</em>) = cos(<em>a</em>) cos(<em>b</em>) - sin(<em>a</em>) sin(<em>b</em>)
… = (-2/3) (-√3/2) - (√5/3) (1/2)
… = √3/3 - √5/6
… = (2√3 - √5) / 6
and so it follows that
tan(<em>a</em> + <em>b</em>) = sin(<em>a</em> + <em>b</em>) / cos(<em>a</em> + <em>b</em>)
… = (-(√15 + 2) / 6) / ((2√3 - √5) / 6)
… = - (√15 + 2) / (2√3 - √5)
… = - (√15 + 2) (2√3 + √5) / ((2√3 - √5) (2√3 + √5))
… = - (2√45 + 4√3 + √75 + 2√5) / (12 - 5)
… = - (6√5 + 4√3 + 5√3 + 2√5) / 7
… = - (8√5 + 9√3) / 7
