Do the following rewrites:
sin(<em>x</em>) = sin(4<em>x</em> - 3<em>x</em>) = sin(4<em>x</em>) cos(3<em>x</em>) - cos(4<em>x</em>) sin(3<em>x</em>)
sin(7<em>x</em>) = sin(4<em>x</em> + 3<em>x</em>) = sin(4<em>x</em>) cos(3<em>x</em>) + cos(4<em>x</em>) sin(3<em>x</em>)
sin(3<em>x</em>) = sin(4<em>x</em> - <em>x</em>) = sin(4<em>x</em>) cos(<em>x</em>) - cos(4<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
sin(5<em>x</em>) = sin(4<em>x</em> + <em>x</em>) = sin(4<em>x</em>) cos(<em>x</em>) + cos(4<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
cos(<em>x</em>) = cos(4<em>x</em> - 3<em>x</em>) = cos(4<em>x</em>) cos(3<em>x</em>) + sin(4<em>x</em>) sin(3<em>x</em>)
cos(7<em>x</em>) = cos(4<em>x</em> + 3<em>x</em>) = cos(4<em>x</em>) cos(3<em>x</em>) - sin(4<em>x</em>) sin(3<em>x</em>)
cos(3<em>x</em>) = cos(4<em>x</em> - <em>x</em>) = cos(4<em>x</em>) cos(<em>x</em>) + sin(4<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
cos(5<em>x</em>) = cos(4<em>x</em> + <em>x</em>) = cos(4<em>x</em>) cos(<em>x</em>) - sin(4<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
So in the numerator, we have
sin(<em>x</em>) + sin(3<em>x</em>) + sin(5<em>x</em>) + sin(7<em>x</em>)
= 2 sin(4<em>x</em>) cos(3<em>x</em>) + 2 sin(4<em>x</em>) cos(<em>x</em>)
= 2 sin(4<em>x</em>) (cos(3<em>x</em>) + cos(<em>x</em>))
In the denominator,
cos(<em>x</em>) + cos(3<em>x</em>) + cos(5<em>x</em>) + cos(7<em>x</em>)
= 2 cos(4<em>x</em>) cos(3<em>x</em>) + 2 cos(4<em>x</em>) cos(<em>x</em>)
= 2 cos(4<em>x</em>) (cos(3<em>x</em>) + cos(<em>x</em>))
So we have
(sin(<em>x</em>) + sin(3<em>x</em>) + sin(5<em>x</em>) + sin(7<em>x</em>)) / (cos(<em>x</em>) + cos(3<em>x</em>) + cos(5<em>x</em>) + cos(7<em>x</em>))
= (2 sin(4<em>x</em>) (cos(3<em>x</em>) + cos(<em>x</em>))) / (2 cos(4<em>x</em>) (cos(3<em>x</em>) + cos(<em>x</em>)))
= sin(4<em>x</em>) / cos(4<em>x</em>)
= tan(4<em>x</em>)
QED
