Working with the right side:
cot(<em>x</em>) + 2 tan(<em>x</em>) + tan³(<em>x</em>) = cos(<em>x</em>)/sin(<em>x</em>) + 2 sin(<em>x</em>)/cos(<em>x</em>) + sin³(<em>x</em>)/cos³(<em>x</em>)
… = (cos⁴(<em>x</em>) + 2 sin²(<em>x</em>) cos²(<em>x</em>) + sin⁴(<em>x</em>)) / (sin(<em>x</em>) cos³(<em>x</em>))
Factorize the numerator as a sum of squares:
<em>a</em>⁴ + 2 <em>a</em>² <em>b</em>² + <em>b</em>⁴ = (<em>a</em>² + <em>b</em>²)²
… = (cos²(<em>x</em>) + sin²(<em>x</em>))² / (sin(<em>x</em>) cos³(<em>x</em>))
Recall that
cos²(<em>x</em>) + sin²(<em>x</em>) = 1
… = 1 / (sin(<em>x</em>) cos³(<em>x</em>))
… = 1 / (sin(<em>x</em>) cos³(<em>x</em>)) • cos(<em>x</em>)/cos(<em>x</em>)
… = cos(<em>x</em>) / (sin(<em>x</em>) cos⁴(<em>x</em>))
… = cot(<em>x</em>) sec⁴(<em>x</em>)
