Given:
ln(<em>xy</em>) = exp(<em>x</em> + <em>y</em>)
(where exp(<em>x</em>) denote the exponential function, <em>eˣ </em>)
Differentiate both sides with respect to <em>x</em> :
d/d<em>x</em> [ln(<em>xy</em>)] = d/d<em>x</em> [exp(<em>x</em> + <em>y</em>)]
Chain rule:
1/(<em>xy</em>) • d/d<em>x</em> [<em>xy</em>] = exp(<em>x</em> + <em>y</em>) • d/d<em>x</em> [<em>x</em> + <em>y</em>]
Product rule on the left, and sum rule on the right. Keep in mind that <em>y</em> = <em>y(x)</em> :
1/(<em>xy</em>) (<em>y</em> + <em>x</em> d<em>y</em>/d<em>x</em>) = exp(<em>x</em> + <em>y</em>) (1 + d<em>y</em>/d<em>x</em>)
Solve for d<em>y</em>/d<em>x</em> :
(<em>y</em> + <em>x</em> • d<em>y</em>/d<em>x</em>) / (<em>xy</em>) = exp(<em>x</em> + <em>y</em>) (1 + d<em>y</em>/d<em>x</em>)
1/<em>x</em> + 1/<em>y</em> • d<em>y</em>/d<em>x</em> = exp(<em>x</em> + <em>y</em>) + exp(<em>x</em> + <em>y</em>) • d<em>y</em>/d<em>x</em>
1/<em>y</em> • d<em>y</em>/d<em>x</em> - exp(<em>x</em> + <em>y</em>) • d<em>y</em>/d<em>x</em> = exp(<em>x</em> + <em>y</em>) - 1/<em>x</em>
(1/<em>y</em> - exp(<em>x</em> + <em>y</em>)) • d<em>y</em>/d<em>x</em> = exp(<em>x</em> + <em>y</em>) - 1/<em>x</em>
d<em>y</em>/d<em>x</em> = (exp(<em>x</em> + <em>y</em>) - 1/<em>x</em>) / (1/<em>y</em> - exp(<em>x</em> + <em>y</em>))
Multiply the right side by <em>x</em>/<em>x</em> and <em>y</em>/<em>y</em> to eliminate the rational terms:
d<em>y</em>/d<em>x</em> = (<em>xy</em> exp(<em>x</em> + <em>y</em>) - <em>y</em>) / (<em>x</em> - <em>xy</em> exp(<em>x</em> + <em>y</em>))