We have
(<em>a</em> + <em>bx</em>) / (<em>a</em> - <em>bx</em>) = (<em>b</em> + <em>cx</em>) / (<em>b</em> - <em>cx</em>)
==> (<em>a</em> + <em>bx</em>) (<em>b</em> - <em>cx</em>) = (<em>a</em> - <em>bx</em>) (<em>b</em> + <em>cx</em>)
==> <em>ab</em> + (<em>b</em> ² - <em>ac</em>) <em>x</em> - <em>bcx</em> ² = <em>ab</em> + (<em>ac</em> - <em>b</em> ²) <em>x</em> - <em>bcx</em> ²
==> (<em>b</em> ² - <em>ac</em>) <em>x</em> = (<em>ac</em> - <em>b</em> ²) <em>x</em>
==> <em>b</em> ² - <em>ac</em> = <em>ac</em> - <em>b</em> ²
==> 2<em>b</em> ² = 2<em>ac</em>
==> <em>b</em> ² = <em>ac</em> … … … [1]
<em />
Similarly, you would find
(<em>a</em> + <em>bx</em>) / (<em>a</em> - <em>bx</em>) = (<em>c</em> + <em>dx</em>) / (<em>c</em> - <em>dx</em>)
==> <em>ad</em> = <em>bc</em> … … … [2]
and
(<em>b</em> + <em>cx</em>) / (<em>b</em> - <em>cx</em>) = (<em>c</em> + <em>dx</em>) / (<em>c</em> - <em>dx</em>)
==> <em>c</em> ² = <em>bd</em> … … … [3]
<em />
Now:
<em>c</em> ² = <em>bd</em> ==> <em>b</em> = <em>c</em> ² / <em>d</em>
<em>b</em> ² = <em>ac</em> ==> <em>c</em> = <em>b</em> ² / <em>a</em>
<em>ad</em> = <em>bc</em> ==> <em>d</em> = <em>bc</em> / <em>a</em>
and we find
<em>d</em> / <em>c</em> = (<em>bc</em> / <em>a</em>) / (<em>b</em> ² / <em>a</em>) = <em>c</em> / <em>b</em>
and
<em>c</em> / <em>b</em> = (<em>b</em> ² / <em>a</em>) / (<em>c</em> ² / <em>d</em>) = (<em>b</em> ² <em>d</em>) / (<em>a</em> <em>c</em> ²) = <em>b</em> / <em>a</em>
which is to say, the ratio between <em>d</em> and <em>c</em> is equal to the ratio between <em>c</em> and <em>b</em>, and also equal to the ratio between <em>b</em> and <em>a</em>. Therefore (<em>a</em>, <em>b</em>, <em>c</em>, <em>d</em>) are in a geometric progression.