Question

Integrate rt{1+e^{2x} } dx" alt="e^{4x}\sqrt{1+e^{2x} } dx" align="absmiddle" class="latex-formula"> please show work so i can learn

Answer 1

Answer:

$(\frac{(1+e^{2x}) ^{\frac{5}{2} } }{{5}} + \frac{(1+e^{2x} )^{\frac{3}{2} } }{{3}} )+C$

Step-by-step explanation:

Step(i):-

Given that the function

                    f(x) = $e^{4x} \sqrt{1+e^{2x} }$

Now integrating on both sides, we get

                 $\int\limits{f(x)} \, dx = \int\limits{e^{4x} \sqrt{1+e^{2x} } dx$

                               =    $\int\limits{e^{2x} e^{2x} \sqrt{1+e^{2x} } dx$

                         

Step(ii):-

  Let  $1 + e^{2x} = t$

           $e^{2x} = t -1$  

          $2e^{2x}dx = d t$

          $e^{2x}dx = \frac{1}{2} d t$

                = $\int\limits{( \sqrt{1+e^{2x} }) e^{2x} e^{2x} dx$

                  = $\int\limits {\sqrt{t}(t-1)\frac{1}{2} dt }$

                 = $\frac{1}{2} \int\limits {\sqrt{t} (t) -\sqrt{t} ) dt }$

                = $\frac{1}{2} \int\limits {(t^{\frac{1}{2} } t^{1} +t^{\frac{1}{2} } ) } \, dx$

                $= \frac{1}{2} \int\limits {(t^{\frac{3}{2} } +t^{\frac{1}{2} } ) } \, dx$

               = $\frac{1}{2} (\frac{t^{\frac{3}{2} +1} }{\frac{3}{2}+1 } + \frac{t^{\frac{1}{2} +1} }{\frac{1}{2}+1 } )+C$

              =  $\frac{1}{2} (\frac{t^{\frac{3}{2} +1} }{\frac{5}{2} } + \frac{t^{\frac{1}{2} +1} }{\frac{3}{2} } )+C$

             = $\frac{1}{2} (\frac{t^{\frac{5}{2} } }{\frac{5}{2} } + \frac{t^{\frac{3}{2} } }{\frac{3}{2} } )+C$

            = $(\frac{(1+e^{2x}) ^{\frac{5}{2} } }{{5}} + \frac{(1+e^{2x} )^{\frac{3}{2} } }{{3}} )+C$

Final answer:-

= $(\frac{(1+e^{2x}) ^{\frac{5}{2} } }{{5}} + \frac{(1+e^{2x} )^{\frac{3}{2} } }{{3}} )+C$