[1] … … 2<em>x</em>₁ + 0<em>x</em>₂ + 3<em>x</em>₃ = 3
[2] … … 4<em>x</em>₁ - 3<em>x</em>₂ + 7<em>x</em>₃ = 5
[3] … … 8<em>x</em>₁ - 9<em>x</em>₂ + 15<em>x</em>₃ = 10
Since [1] is already free of <em>x</em>₂, you might as well start by eliminating <em>x</em>₂ from the other two equations. Add -3 times [2] to [3] :
-3 (4<em>x</em>₁ - 3<em>x</em>₂ + 7<em>x</em>₃) + (8<em>x</em>₁ - 9<em>x</em>₂ + 15<em>x</em>₃) = -3 (5) + 10
-12<em>x</em>₁ + 9<em>x</em>₂ - 21<em>x</em>₃ + 8<em>x</em>₁ - 9<em>x</em>₂ + 15<em>x</em>₃ = -15 + 10
-4<em>x</em>₁ - 6<em>x</em>₃ = -5
[4] … … 4<em>x</em>₁ + 6<em>x</em>₃ = 5
Now eliminate <em>x</em>₃ in [1] and [4]. Add -2 times [1] to [4] :
-2 (2<em>x</em>₁ + 3<em>x</em>₃) + (4<em>x</em>₁ + 6<em>x</em>₃) = -2 (3) + 5
-4<em>x</em>₁ - 6<em>x</em>₃ + 4<em>x</em>₁ + 6<em>x</em>₃ = -6 + 5
0 = -1
which is a contradiction. This means the system has no solution.