Question

Use the limit comparison test to determine whether ∑n=19∞an=∑n=19∞8n3−2n2+196+3n4 converges or diverges.

Answer 1

Answer:

Diverges

General Formulas and Concepts:

Algebra I

• Exponential Rule [Dividing]:                                                                         $\displaystyle \frac{b^m}{b^n} = b^{m - n}$

Calculus

Limits

• Limit Rule [Variable Direct Substitution]:                                                     $\displaystyle \lim_{x \to c} x = c$

Series Convergence Tests

• P-Series:                                                                                                         $\displaystyle \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1}{n^p}$
• Direct Comparison Test (DCT)
• Limit Comparison Test (LCT):                                                                       $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n = 19} \frac{8n^3 - 2n^2 + 19}{6 + 3n^4}$

Step 2: Apply DCT

1. Define Comparison:                                                                                     $\displaystyle \displaystyle \sum^{\infty}_{n = 19} \frac{n^3}{n^4}$
2. [Comparison Sum] Simplify:                                                                         $\displaystyle \displaystyle \sum^{\infty}_{n = 19} \frac{1}{n}$
3. [Comparison Sum] Determine convergence:                                             $\displaystyle \displaystyle \sum^{\infty}_{n = 19} \frac{1}{n} = \infty , \ \text{div by P-Series}$
4. Set up inequality comparison:                                                                     $\displaystyle\frac{8n^3 - 2n^2 + 19}{6 + 3n^4} \geq \frac{1}{n}$
5. [Inequality Comparison] Rewrite:                                                                 $\displaystyle n(8n^3 - 2n^2 + 19) \geq 6 + 3n^4$
6. [Inequality Comparison] Simplify:                                                                 $\displaystyle 8n^4 - 2n^3 + 19n \geq 6 + 3n^4 \ \checkmark \text{true}$

∴ the sum  $\displaystyle \sum^{\infty}_{n = 19} \frac{8n^3 - 2n^2 + 19}{6 + 3n^4}$  is divergent by DCT.

Step 3: Apply LCT

1. Define:                                                                                                           $\displaystyle a_n = \frac{8n^3 - 2n^2 + 19}{6 + 3n^4}, \ b_n = \frac{1}{n}$
2. Substitute in variables [LCT]:                                                                       $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8n^3 - 2n^2 + 19}{6 + 3n^4} \cdot n$
3. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8n^4 - 2n^3 + 19n}{6 + 3n^4}$
4. [Limit] Evaluate [Coefficient Power Rule]:                                                   $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8n^4 - 2n^3 + 19n}{6 + 3n^4} = \frac{8}{3}$

∴ Because  $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \neq 0$  and the sum  $\displaystyle \sum^{\infty}_{n = 19} a_n$  diverges by DCT,  $\displaystyle \sum^{\infty}_{n = 19} \frac{8n^3 - 2n^2 + 19}{6 + 3n^4}$   also diverges by LCT.

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Convergence Tests (BC Only)

Book: College Calculus 10e