Question

Evaluate the following definite integral​

Answer 1

Answer:

$\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = \frac{e}{3}$

General Formulas and Concepts:

Symbols

• e (Euler's number) ≈ 2.71828

Algebra I

• Exponential Rule [Multiplying]:                                                                     $\displaystyle b^m \cdot b^n = b^{m + n}$

Calculus

Differentiation

• Derivatives
• Derivative Notation

Basic Power Rule:

1. f(x) = cxⁿ
2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Integration

• Integrals
• Definite Integrals
• Integration Constant C

Integration Rule [Reverse Power Rule]:                                                               $\displaystyle \int {x^n} \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$

Integration Rule [Fundamental Theorem of Calculus 1]:                                     $\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         $\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx$

U-Substitution

• U-Solve

Integration by Parts:                                                                                               $\displaystyle \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du$

• [IBP] LIPET: Logs, inverses, Polynomials, Exponentials, Trig

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx$

Step 2: Integrate Pt. 1

1. [Integrand] Rewrite [Exponential Rule - Multiplying]:                                 $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3}e} \, dx$
2. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = e\int\limits^1_0 {x^5e^{x^3}} \, dx$

Step 3: Integrate Pt. 2

Identify variables for u-solve.

1. Set u:                                                                                                             $\displaystyle u = x^3$
2. [u] Differentiate [Basic Power Rule]:                                                             $\displaystyle du = 3x^2 \ dx$
3. [u] Rewrite:                                                                                                     $\displaystyle x = \sqrt[3]{u}$
4. [du] Rewrite:                                                                                                   $\displaystyle dx = \frac{1}{3x^2} \ du$

Step 4: Integrate Pt. 3

1. [Integral] U-Solve:                                                                                         $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = e\int\limits^1_0 {x^5e^{(\sqrt[3]{u})^3}\frac{1}{3x^2}} \, du$
2. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = \frac{e}{3}\int\limits^1_0 {x^5e^{(\sqrt[3]{u})^3}\frac{1}{x^2}} \, du$
3. [Integral] Simplify:                                                                                         $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = \frac{e}{3}\int\limits^1_0 {x^3e^u} \, du$
4. [Integrand] U-Solve:                                                                                      $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = \frac{e}{3}\int\limits^1_0 {ue^u} \, du$

Step 5: integrate Pt. 4

Identify variables for integration by parts using LIPET.

1. Set u:                                                                                                             $\displaystyle u = u$
2. [u] Differentiate [Basic Power Rule]:                                                             $\displaystyle du = du$
3. Set dv:                                                                                                           $\displaystyle dv = e^u \ du$
4. [dv] Exponential Integration:                                                                         $\displaystyle v = e^u$

Step 6: Integrate Pt. 5

1. [Integral] Integration by Parts:                                                                        $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = \frac{e}{3} \bigg[ ue^u \bigg| \limits^1_0 - \int\limits^1_0 {e^u} \, du \bigg]$
2. [Integral] Exponential Integration:                                                               $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = \frac{e}{3} \bigg[ ue^u \bigg| \limits^1_0 - e^u \bigg| \limits^1_0 \bigg]$
3. Evaluate [Integration Rule - Fundamental Theorem of Calculus 1]:           $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = \frac{e}{3}[ e - e ]$
4. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle \int\limits^1_0 {x^5e^{x^3 + 1}} \, dx = \frac{e}{3}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Integration

Book: College Calculus 10e