Compute the derivative d<em>y</em>/d<em>x</em> and check where it is zero (for horizontal tangents) or undefined (for vertical tangents).
2<em>x</em>² + 2<em>y</em>² - 20<em>x</em> + 12<em>y</em> + 3 = 0
d/d<em>x</em> [2<em>x</em>² + 2<em>y</em>² - 20<em>x</em> + 12<em>y</em> + 3] = 0
4<em>x</em> + 4<em>y</em> d<em>y</em>/d<em>x</em> - 20 + 12 d<em>y</em>/d<em>x</em> = 0
(4<em>y</em> + 12) d<em>y</em>/d<em>x</em> = 20 - 4<em>x</em>
(<em>y</em> + 3) d<em>y</em>/d<em>x</em> = 5 - <em>x</em>
d<em>y</em>/d<em>x</em> = (5 - <em>x</em>) / (<em>y</em> + 3)
• Horizontal tangents:
d<em>y</em>/d<em>x</em> = 0 → 5 - <em>x</em> = 0 → <em>x</em> = 5
Solve for <em>y</em> when <em>x</em> = 5 :
2•5² + 2<em>y</em>² - 20•5 + 12<em>y</em> + 3 = 0
2<em>y</em>² + 12<em>y</em> - 47 = 0
<em>y</em> = (-6 ± √(130))/2
So there are two horizontal tangents at the points
(5, (-6 - √(130))/2) and (5, (-6 + √(130))/2)
• Vertical tangents:
1/(d<em>y</em>/d<em>x</em>) = 0 → <em>y</em> + 3 = 0 → <em>y</em> = -3
Solve for <em>x</em> when <em>y</em> = -3 :
2<em>x</em>² + 2•(-3)² - 20<em>x</em> + 12•(-3) + 3 = 0
2<em>x</em>² - 20<em>x</em> - 15 = 0
<em>x</em> = (10 ± √(130))/2
So there are two vertical tangents at the points
((10 - √(130))/2, -3) and ((10 + √(130))/2, -3)
Alternatively, you can complete the square to identify the equation of a circle:
2<em>x</em>² + 2<em>y</em>² - 20<em>x</em> + 12<em>y</em> + 3 = 0
2 (<em>x</em>² - 10<em>x</em>) + 2 (<em>y</em>² + 6<em>y</em>) = -3
2 (<em>x</em>² - 10<em>x</em> + 25 - 25) + 2 (<em>y</em>² + 6<em>y</em> + 9 - 9) = -3
2 (<em>x</em> - 5)² - 50 + 2 (<em>y</em> + 3)² - 18 = -3
2 (<em>x</em> - 5)² + 2 (<em>y</em> + 3)² = 65
(<em>x</em> - 5)² + (<em>y</em> + 3)² = 65/2
which is a circle centered at (5, -3) with radius √(65/2). The horizontal tangents occur at the points where the <em>x</em> term vanishes (<em>x</em> = 5), and the vertical ones where <em>y</em> vanishes (<em>y</em> = -3).
