ln(5<em>y</em>) = 4<em>xy</em>
Differentiate both sides with respect to <em>x</em>, taking <em>y</em> = <em>y(x)</em> :
d/d<em>x</em> [ln(5<em>y</em>)] = d/d<em>x</em> [4<em>xy</em>]
1/(5<em>y</em>) d/d<em>x</em> [5<em>y</em>] = 4<em>y</em> + 4<em>x</em> d<em>y</em>/d<em>x</em>
5/(5<em>y</em>) d<em>y</em>/d<em>x</em> = 4<em>y</em> + 4<em>x</em> d<em>y</em>/d<em>x</em>
1/<em>y</em> d<em>y</em>/d<em>x</em> = 4<em>y</em> + 4<em>x</em> d<em>y</em>/d<em>x</em>
(1/<em>y</em> - 4<em>x</em>) d<em>y</em>/d<em>x</em> = 4<em>y</em>
d<em>y</em>/d<em>x</em> = 4<em>y</em> / (1/<em>y</em> - 4<em>x</em>)
Since <em>y</em> = 0 is outside the domain (ln(0) is undefined), we can multiply the right side by <em>y</em>/<em>y</em> :
d<em>y</em>/d<em>x</em> = 4<em>y</em> ² / (1 - 4<em>xy</em>)
To compute the second derivative, differentiate both sides again:
d/d<em>x</em> [d<em>y</em>/d<em>x</em>] = d/d<em>x</em> [4<em>y</em> ² / (1 - 4<em>xy</em>)]
d²<em>y</em>/d<em>x</em> ² = ((1 - 4<em>xy</em>) d/d<em>x</em> [4<em>y</em> ²] - 4<em>y</em> ² d/d<em>x</em> [1 - 4<em>xy</em>]) / (1 - 4<em>xy</em>)²
d²<em>y</em>/d<em>x</em> ² = ((1 - 4<em>xy</em>) 8<em>y</em> d<em>y</em>/d<em>x</em> - 4<em>y</em> ² (0 - 4<em>y</em> - 4<em>x</em> d<em>y</em>/d<em>x</em>)) / (1 - 4<em>xy</em>)²
d²<em>y</em>/d<em>x</em> ² = ((8<em>y</em> - 32<em>xy</em> ²) d<em>y</em>/d<em>x</em> + 16<em>y</em> ³ + 16<em>xy</em> ² d<em>y</em>/d<em>x</em>) / (1 - 4<em>xy</em>)²
d²<em>y</em>/d<em>x</em> ² = ((8<em>y</em> - 16<em>xy</em> ²) d<em>y</em>/d<em>x</em> + 16<em>y</em> ³) / (1 - 4<em>xy</em>)²
Substitute the first derivative founder earlier:
d²<em>y</em>/d<em>x</em> ² = ((8<em>y</em> - 16<em>xy</em> ²) (4<em>y</em> ² / (1 - 4<em>xy</em>)) + 16<em>y</em> ³) / (1 - 4<em>xy</em>)²
d²<em>y</em>/d<em>x</em> ² = ((8<em>y</em> - 16<em>xy</em> ²) 4<em>y</em> ² + 16<em>y</em> ³ (1 - 4<em>xy</em>)) / (1 - 4<em>xy</em>)³
d²<em>y</em>/d<em>x</em> ² = (16<em>y</em> ³ (3 - 8<em>xy</em>)) / (1 - 4<em>xy</em>)³
The second derivative vanishes wherever the numerator vanishes (so long as 4<em>xy</em> ≠ 1) :
16<em>y</em> ³ (3 - 8<em>xy</em>) = 0
16<em>y</em> ³ = 0 <u>or</u> 3 - 8<em>xy</em> = 0
<em>y</em> = 0 <u>or</u> 8<em>xy</em> = 3
As pointed out earlier, <em>y</em> = 0 is outside this function's domain, so we're left with points on the curve
<em>y</em> = 3/(8<em>x</em>)
Substituting this into the original function gives
ln(5 (3/(8<em>x</em>))) = 4<em>x</em> (3/(8<em>x</em>))
ln(15 / (8<em>x</em>)) = 12/8
ln(15) - ln(8<em>x</em>) = 3/2
ln(8<em>x</em>) = ln(15) - 3/2
8<em>x</em> = exp(ln(15) - 3/2)
8<em>x</em> = 15 exp(-3/2)
<em>x</em> = 15/8 exp(-3/2) → <em>y</em> = 1/5 exp(3/2)
or approximately (0.4184, 0.8963).
(where exp(<em>x</em>) = <em>e</em> ˣ)