Recall the double angle identities:
cos(<em>x</em>/2) = cos(<em>x</em>/4 + <em>x</em>/4) = cos²(<em>x</em>/4) - sin²(<em>x</em>/4)
sin(<em>x</em>/2) = sin(<em>x</em>/4 + <em>x</em>/4) = 2 sin(<em>x</em>/4) cos(<em>x</em>/4)
So
(1 + cos(<em>x</em>/2) - sin(<em>x</em>/2)) / (1 - cos(<em>x</em>/2) - sin(<em>x</em>/2))
= (1 + cos²(<em>x</em>/4) - sin²(<em>x</em>/4) - 2 sin(<em>x</em>/4) cos(<em>x</em>/4)) / (1 - cos²(<em>x</em>/4) + sin²(<em>x</em>/4) - 2 sin(<em>x</em>/4) cos(<em>x</em>/4))
sin²(<em>x</em>) + cos²(<em>x</em>) = 1, so
(1 + cos(<em>x</em>/2) - sin(<em>x</em>/2)) / (1 - cos(<em>x</em>/2) - sin(<em>x</em>/2))
= (2 cos²(<em>x</em>/4) - 2 sin(<em>x</em>/4) cos(<em>x</em>/4)) / (2 sin²(<em>x</em>/4) - 2 sin(<em>x</em>/4) cos(<em>x</em>/4))
= (cos(<em>x</em>/4) / sin(<em>x</em>/4)) • (2 cos(<em>x</em>/4) - 2 sin(<em>x</em>/4)) / (2 sin(<em>x</em>/4) - 2 cos(<em>x</em>/4))
= (cos(<em>x</em>/4) / sin(<em>x</em>/4)) • (-1)
= - cot(<em>x</em>/4)
