Answer:
Step-by-step explanationAl final de esta lección, debes ser capaz de:
Reconocer una relación de variación directa
Encontrar la fórmula de una relación de variación directa
Resolver problemas verbales asociados con variaciones directas
Introducción
x = Horas Trabajadas 0 1 2 3 4
y = Dólares Ganados 0 3 6 9 12
La tabla anterior muestra la relación entre las horas trabajadas y el dinero en dólares, que obtuvo Juan trabajando a razón de $3.00 por hora. En esta tabla, podemos ver que el dinero ganado es igual al producto de las horas trabajadas por 3. Otra manera de decir eso es que la constante de variación o proporción es igual o 3. También se puede observar que cada vez que x aumenta en un 1, la variable y aumenta en 3. Otra manera de decir eso es que la razón de cambio es igual a 3.
En la aplicación de abajo, mueve el botón de la barra “constante de variación” a 3. Observa que los puntos de la gráfica coinciden con los valores en la tabla, y que con cada aumento de 1 en x, la variable y aumenta 3 y que la relación entre las variables es y = 3 × x .
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Cajas de Leche 0 1 2 3 4
Botellas de Leche 0 4 8 12 16
Si cada caja de leche contiene 4 botellas, la tabla anterior muestra la relación entre el número de cajas de leche y el número de botellas que contienen. En esta tabla, podemos ver que el número de botellas de leche se obtiene multiplicando el número de cajas de leche por 4.
En la aplicación de arriba, mueve el botón de la barra constante de variación a 4. Observa que los puntos de la gráfica coinciden con los valores en la tabla, y que con cada aumento de 1 en x, y aumenta 4 y que la relación entre las variables es y = 4 × x.
.
Cantidad de dólares 0 1 2 3 4
Cantidad de galletas que se puede comprar 0 2 4 6 8
Si una galleta cuesta 50 centavos, la tabla anterior muestra la relación entre la cantidad de dólares y la cantidad de galletas que se puede comprar. En esta tabla, podemos ver que la cantidad de galletas se obtiene multiplicando la cantidad de dólares por 2.
En la aplicación de arriba, mueve el botón de la barra constante de variación a 2. Observa que los puntos de la gráfica coinciden con los valores en la tabla, y que con cada aumento de 1 en x, la variable y aumenta en 2 y que la relación entre las variables es y = 2 × x
.
En todas estas relaciones de los ejemplos anteriores, una variable es igual a otra variable multiplicada por una constante distinta de cero. Estas relaciones se conocen como proporciones directas o variaciones directas.
Definición
Dadas dos variables x y y, los enunciados:
y varía directamente como x,
y es directamente proporcional a x y
y es proporcional a x
todos significan que y = kx, para algún número real fijo k.
Al número k se le llama la constante de variación o constante de proporcionalidad. El valor de k también representa la razón de cambio de la relación. Es decir, cada aumento de 1 en x va a corresponder a un aumento de k en y.
Pasos para hallar la Fórmula para Relaciones de Variación Directa
Las relaciones de variación directa tienen la forma y = kx donde x y y son variables y k es una constante distinta de cero. La fórmula para una relación de variación directa se puede hallar mediante los siguientes pasos:
Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
y es directamente proporcional a x significa
y =k·x
Paso 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k.
Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.
Ejemplos
Ejemplo 1
u es proporcional a v. Si u = 16 cuando v = 4, escribe la fórmula para la relación entre u y v.
Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
u es proporcional a v significa
u =k·v
Paso 2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.
16 = k· 4
k=164=4
Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.
u =4v
Conclusión: la fórmula para expresar la relación entre u y v es u =4v
Ejemplo 2
p varía directamente como z. Si p = 210 cuando z = 200, escribe la fórmula para expresar la relación entre p y z .
Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
p varía directamente como z significa
p = k·z
Paso 2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.
210 = k· 200
k=210200=1.05
Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.
p =1.05z:
