Let <em>F</em> (<em>n</em>) denote the integral,
∫ <em>x</em> (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> d<em>x</em>
We attempt to find a power-reduction formula for <em>F</em> (<em>n</em>) in terms of <em>F</em> (<em>n</em> - 1). Integrate by parts, with
<em>u</em> = (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> → d<em>u</em> = - <em>n</em>/<em>x</em> (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ d<em>x</em>
d<em>v</em> = <em>x</em> d<em>x</em> → <em>v</em> = 1/2 <em>x</em> ²
Then
<em>F</em> (<em>n</em>) = <em>u v</em> - ∫ <em>v</em> d<em>u</em>
<em>F</em> (<em>n</em>) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2 ∫ <em>x</em> (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ d<em>x</em>
<em>F</em> (<em>n</em>) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2 <em>F</em> (<em>n</em> - 1)
From this relation, we get
<em>F</em> (<em>n</em> - 1) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ + (<em>n</em> - 1)/2 <em>F</em> (<em>n</em> - 2)
<em>F</em> (<em>n</em> - 2) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻² + (<em>n</em> - 2)/2 <em>F</em> (<em>n</em> - 3)
<em>F</em> (<em>n</em> - 3) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻³ + (<em>n</em> - 3)/2 <em>F</em> (<em>n</em> - 4)
and so on, down to
<em>F</em> (1) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>)) + 1/2 <em>F</em> (0)
where
<em>F</em> (0) = ∫ <em>x</em> d<em>x</em> = 1/2 <em>x</em> ² + <em>C</em>
By recursively substituting, we find
→ <em>F</em> (<em>n</em>) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2 [1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ + (<em>n</em> - 1)/2 <em>F</em> (<em>n</em> - 2)]
… = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2² <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1))/2² <em>F</em> (<em>n</em> - 2)
→ <em>F</em> (<em>n</em>) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2² <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1))/2² [1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻² + (<em>n</em> - 2)/2 <em>F</em> (<em>n</em> - 3)]
… = <em>F</em> (<em>n</em>) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2² <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1))/2³ <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻² + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1) (<em>n</em> - 2))/2³ <em>F</em> (<em>n</em> - 3)
→ <em>F</em> (<em>n</em>) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2² <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1))/2³ <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻² + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1) (<em>n</em> - 2))/2³ [1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻³ + (<em>n</em> - 3)/2 <em>F</em> (<em>n</em> - 4)]
… = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2² <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1))/2³ <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻² + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1) (<em>n</em> - 2))/2⁴ <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻³ + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1) (<em>n</em> - 2) (<em>n</em> - 3))/2⁴ <em>F</em> (<em>n</em> - 4)
and so on, down to
<em>F</em> (<em>n</em>) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2² <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ + … + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1) … 2 × 1)/2<em>ⁿ</em> <em>F</em> (0)
<em>F</em> (<em>n</em>) = 1/2 <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> + <em>n</em>/2² <em>x</em> ² (1 - ln(<em>x</em>))<em>ⁿ</em> ⁻¹ + … + (<em>n</em> (<em>n</em> - 1) … 2 × 1)/2<em>ⁿ</em> ⁺¹ <em>x</em> ² + <em>C</em>
We can write this more compactly as the sum,
or
where is the binomial coefficient.