To begin with, we can simplify <em>y</em> using the Pythagorean identity:
<em>y</em> = 2 cos²(<em>x</em>) + 3 sin²(<em>x</em>) + 5
<em>y</em> = 2 (cos²(<em>x</em>) + sin²(<em>x</em>)) + sin²(<em>x</em>) + 5
<em>y</em> = 2 + sin²(<em>x</em>) + 5
<em>y</em> = sin²(<em>x</em>) + 7
Next, we can further rewrite this using the half angle identity for sine:
<em>y</em> = (1 - cos(2<em>x</em>))/2 + 7
<em>y</em> = 15/2 - 1/2 cos(2<em>x</em>)
Now, since cos(<em>x</em>) is bounded between -1 and 1, we have
max(<em>y</em>) = 15/2 - 1/2×(-1) = 15/2 + 1/2 = 8
and
min(<em>y</em>) = 15/2 - 1/2×1 = 15/2 - 1/2 = 7
Then the sum of the maximum and minimum is 8 + 7 = 15.
