Recall the following identities:
cos(4<em>x</em>) = cos⁴(<em>x</em>) - 6 cos²(<em>x</em>) sin²(<em>x</em>) + sin⁴(<em>x</em>)
cos(3<em>x</em>) = cos³(<em>x</em>) - 3 cos²(<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
sin²(<em>x</em>) = 1 - cos²(<em>x</em>)
Then the equation
cos(4<em>x</em>) = cos²(3<em>x</em>) + sin²(<em>x</em>)
can be rewritten entirely in terms of cos(<em>x</em>) as
8 cos⁴(<em>x</em>) - 8 cos²(<em>x</em>) + 1 = 16 cos⁶(<em>x</em>) - 24 cos⁴(<em>x</em>) + 8 cos²(<em>x</em>) + 1
16 cos⁶(<em>x</em>) - 32 cos⁴(<em>x</em>) + 16 cos²(<em>x</em>) = 0
16 cos²(<em>x</em>) (cos²(<em>x</em>) - 1)² = 0
Now we can solve:
cos²(<em>x</em>) = 0 or (cos²(<em>x</em>) - 1)² = 0
cos(<em>x</em>) = 0 or cos²(<em>x</em>) - 1 = 0
cos(<em>x</em>) = 0 or cos²(<em>x</em>) = 1
cos(<em>x</em>) = 0 or cos(<em>x</em>) = -1 or cos(<em>x</em>) = 1
<em>x</em> = <em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em> or <em>x</em> = -<em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em>
… or <em>x</em> = <em>π</em> + 2<em>nπ</em>
… or <em>x</em> = 2<em>nπ</em>
where <em>n</em> is any integer.
