Question

Solve the system of equations graphically and prove the solution is correct with substitution. Y = x + 1 3 Y = 2x - 2 2 1 -5 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -2 -3

Answer 1

Solución de un sistema de ecuaciones

Tenemos dos ecuaciones:

y = 1/2x + 1

y = 2x - 2

queremos encontrar la solución de este sistema. Cada ecuación tiene muchos valores de "x" y de "y" posibles que satisfacen cada ecuación por a parte, encontrar una solución de este sistema significa que queremos ver si hay un valor de "x" y de "y" que haga que ambas ecuaciones se cumplan.

Gráficamente esto lo vemos trazando ambas líneas y viendo si ellas se encuentran en un mismo punto.

Graficar las ecuaciones

Queremos graficar las dos ecuaciones, para ello encontramos dos puntos por los que cada una pasa y así podemos trazarlas:

Paso 1: encontrar dos puntos

Vamos a encontrar dos puntos por los que pasa la primera ecuación:

cuando x = 0

Vemos qué sucede con y:

y = 1/2x + 1

↓reemplazando x = 0

y = 1/2 · 0 + 1

y = 0 + 1

y = 1

cuando x = 2

Vemos qué sucede con y:

y = 1/2x + 1

↓reemplazando x = 2

y = 1/2 ·2 + 1

y = 1 + 1

y = 2

Esto significa que la primera línea pasa por los puntos (0, 1) y (2, 2).

Paso 2: ubicarlos en el plano

Ahora ubicamos cada punto en el plano:

Paso 3: trazar la línea

Ahora podemos trazar una línea que los una: esa será la línea dada por la ecuación

Ahora para encontrar la gráfica de la segunda ecuación seguimos los mismos pasos...

Paso 1: encontrar dos puntos

Vamos a encontrar dos puntos por los que pasa la segunda ecuación:

cuando x = 0

Vemos qué sucede con y:

y = 2x - 2

↓reemplazando x = 0

y = 2 · 0 - 2

y = 0 - 2

y = -2

cuando x = 1

Vemos qué sucede con y:

y = 2x - 2

↓reemplazando x = 1

y = 2 · 1 - 2

y = 2 - 2

y = 0

Esto significa que la segunda línea pasa por los puntos (0, -2) y (1, 0).

Paso 2: ubicarlos en el plano

Ahora ubicamos cada punto en el plano:

Paso 3: trazar la línea

Ahora podemos trazar una línea que los una: esa será la línea dada por la ecuación

Solución

Para hallar la solución simplemente observaremos la gráfica de ambas líneas

Como podemos observar, las ecuaciones se interceptan en el punto (2, 2), entonces la solución de las ecuaciones es cuando

x = 2 y y =2

Solución algebraica

Ahora queremos comprobar si nuestro resultado fue correcto por sustitución.

Paso 1

Sustituímos el y dado por la primera ecuación en la segunda ecuación:

y = 2x - 2

↓ sustituímos y con y = 1/2x + 1

1/2x + 1 = 2x - 2

Paso 2

Utilizando la ecuación encontrada vamos a despejar x

1/2x + 1 = 2x - 2

Queremos pasar todos los tñerminos con x hacia el lado derecho y todos los números hacia el lado izquierdo:

1/2x + 1 = 2x - 2

↓ restando 1/2x a ambos lados

1 = -1/2x + 2x - 2

↓ sumando 2 a ambos lados

1 + 2 = -1/2x + 2x

↓ como -1/2 + 2 = 3/2

1 + 2 = 3/2x

↓

3 = 3/2x

↓ multiplicando por 2 a ambos lados

2 · 3 = 2 · 3/2x

6 = 3x

↓ dividiendo en 3 ambos lados

6/3 = 3x/3

2 = x

Paso 3

Ahora que hemos encontrado el x que satisface ambas ecuaciones, lo reemplazamos en alguna de ambas para encontrar y, esta vez lo haremos en la segunda:

y = 2x - 2

↓ reemplazando x = 2

y = 2 · 2 - 2

y = 4 - 2

y = 2

Entonces, algebraicamente, la solución es

x = 2 y, y = 2

Esto es (2, 2)