The answer is <span>b) Mia is closer because her distance to the chest is opposite the smaller angle.
In the relationship of triangle sides and its angles, the shortest side will always be opposite to the smallest interior angle. Furthermore, the largest side will always be opposite to the largest interior angle. Since Mia's distance to the treasure chest is opposite to the smaller angle 65</span>°, then she is much closer to the chest.<span> </span>
Answer:
![\displaystyle 2 \sin(x) + 2x \cos( \alpha ) + \rm C](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%202%20%5Csin%28x%29%20%20%2B%202x%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%2B%20%20%5Crm%20C)
Step-by-step explanation:
we would like to integrate the following integration:
![\displaystyle \int \frac{ \cos(2x) - \cos(2 \alpha ) }{ \cos(x) - \cos( \alpha ) } dx](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B%20%5Ccos%282x%29%20%20-%20%20%5Ccos%282%20%5Calpha%20%29%20%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%20-%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%7D%20dx)
notice that you can simplify the integrand
recall that,
![\displaystyle \cos(2 \theta) = 2 \cos(\theta) ^{2} - 1](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%20%5Ccos%282%20%5Ctheta%29%20%20%3D%202%20%5Ccos%28%5Ctheta%29%20%5E%7B2%7D%20%20-%201)
thus substitute:
![\displaystyle \int \frac{ 2\cos^{2} (x)- 1 - \{2\cos ^{2} (\alpha ) - 1 \} }{ \cos(x) - \cos( \alpha ) } dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B%202%5Ccos%5E%7B2%7D%20%28x%29-%201%20%20-%20%20%5C%7B2%5Ccos%20%5E%7B2%7D%20%28%5Calpha%20%29%20-%201%20%5C%7D%20%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%20-%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%7D%20dx)
remove parentheses:
![\displaystyle \int \frac{ 2\cos^{2} (x)- 1 - 2\cos ^{2} (\alpha ) + 1}{ \cos(x) - \cos( \alpha ) } dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B%202%5Ccos%5E%7B2%7D%20%28x%29-%201%20%20-%20%202%5Ccos%20%5E%7B2%7D%20%28%5Calpha%20%29%20%20%2B%20%201%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%20-%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%7D%20dx)
![\displaystyle \int \frac{ 2\cos^{2} (x) - 2\cos ^{2} (\alpha ) }{ \cos(x) - \cos( \alpha ) } dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B%202%5Ccos%5E%7B2%7D%20%28x%29%20%20-%20%202%5Ccos%20%5E%7B2%7D%20%28%5Calpha%20%29%20%20%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%20-%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%7D%20dx)
factor out 2:
![\displaystyle \int \frac{ 2(\cos^{2} (x) - \cos ^{2} (\alpha )) }{ \cos(x) - \cos( \alpha ) } dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B%202%28%5Ccos%5E%7B2%7D%20%28x%29%20%20-%20%20%5Ccos%20%5E%7B2%7D%20%28%5Calpha%20%29%29%20%20%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%20-%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%7D%20dx)
we can use algebraic identity i.e
a²-b²=(a+b)(a-b) to factor the denominator
![\displaystyle \int \frac{ 2(\cos^{} (x) + \cos ^{} (\alpha ))( \cos(x) - \cos( \alpha ) ) }{ \cos(x) - \cos( \alpha ) } dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B%202%28%5Ccos%5E%7B%7D%20%28x%29%20%20%20%20%20%2B%20%5Ccos%20%5E%7B%7D%20%28%5Calpha%20%29%29%28%20%5Ccos%28x%29%20%20%20-%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%29%20%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%20-%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%7D%20dx)
reduce fraction:
![\displaystyle \int \frac{ 2(\cos^{} (x) + \cos ^{} (\alpha ))( \cancel{\cos(x) - \cos( \alpha ) ) }}{ \cancel{\cos(x) - \cos( \alpha ) }} dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B%202%28%5Ccos%5E%7B%7D%20%28x%29%20%20%20%20%20%2B%20%5Ccos%20%5E%7B%7D%20%28%5Calpha%20%29%29%28%20%20%5Ccancel%7B%5Ccos%28x%29%20%20%20-%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%29%20%7D%7D%7B%20%20%5Ccancel%7B%5Ccos%28x%29%20%20-%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%7D%7D%20dx)
![\displaystyle \int 2( \cos(x) + \cos( \alpha ) )dx](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cint%202%28%20%5Ccos%28x%29%20%20%2B%20%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%29dx)
distribute:
![\displaystyle \int 2 \cos(x) + 2\cos( \alpha ) dx](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cint%202%20%5Ccos%28x%29%20%20%2B%20%202%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20dx)
use sum integration formula:
![\rm \displaystyle \int 2 \cos(x) dx+ \int2\cos( \alpha ) dx](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Crm%20%5Cdisplaystyle%20%5Cint%202%20%5Ccos%28x%29%20%20dx%2B%20%20%20%5Cint2%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20dx)
recall integration rules:
![\displaystyle 2 \sin(x) + 2x \cos( \alpha )](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%202%20%5Csin%28x%29%20%20%2B%202x%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20)
and we of course have to add constant of integration
![\displaystyle 2 \sin(x) + 2x \cos( \alpha ) + \rm C](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%202%20%5Csin%28x%29%20%20%2B%202x%20%5Ccos%28%20%5Calpha%20%29%20%2B%20%20%5Crm%20C)
Answer:
x^2+x+1
Step-by-step explanation:
(x-2)+(x^2+3)=x-2+x^2+3=x^2+x-2+3=x^2+x+1
Answer:
1022
Step-by-step explanation:
total of eggs
= 53 × 24
= 1272
the good eggs
= 1272 - 250
= 1022
id say its a rhombus. all the other shapes can have right angles