Answer:
Don Abel debe construir un cuadrado con lados de 25 metros de longitud.
Step-by-step explanation:
Geométricamente hablando, el área y el perímetro del rectángulo rodeado por el cerco son representadas por las siguientes fórmulas:
(1)
(2)
Donde:
- Área, en metros cuadrados.
- Perímetro, en metros.
- Ancho, en metros.
- Longitud, en metros.
Puesto que el área a cercar debe ser la máxima posible y la longitud disponible de malla es de 100 metros, cabe despejar el ancho en (2):
![w = \frac{p}{2}-l](https://tex.z-dn.net/?f=w%20%3D%20%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D-l)
Ahora, aplicamos esta expresión en (1) y expandimos la expresión resultante:
(3)
A continuación, obtenemos la primera y segunda derivada de (3):
(4)
(5)
Igualando (4) a cero, tenemos que el valor crítico de la longitud del rectángulo es:
![\frac{p}{2}-2\cdot l = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D-2%5Ccdot%20l%20%3D%200)
![2\cdot l = \frac{p}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Ccdot%20l%20%3D%20%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D)
Por (5), sabemos que ese valor crítico está asociado al área máxima.
Si sabemos que
, entonces la longitud del rectángulo es:
![l = 25\,m](https://tex.z-dn.net/?f=l%20%3D%2025%5C%2Cm)
Ahora, tenemos el ancho de la figura por (2):
![w = \frac{p}{2}-l](https://tex.z-dn.net/?f=w%20%3D%20%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D-l)
![w = 25\,m](https://tex.z-dn.net/?f=w%20%3D%2025%5C%2Cm)
En consecuencia, don Abel debe construir un cuadrado con lados de 25 metros de longitud.