3<em>x</em>⁴ = 3<em>x</em>³ • <em>x</em>, and
3<em>x</em>³ (<em>x</em> - 2) = 3<em>x</em>⁴ - 6<em>x</em>³
Subtract this from the numerator to get a remainder of
(3<em>x</em>⁴ - 8<em>x</em>³ - <em>x</em>² + 9<em>x</em> + 5) - (3<em>x</em>⁴ - 6<em>x</em>³) = -2<em>x</em>³ - <em>x</em>² + 9<em>x</em> + 5
-2<em>x</em>³ = -2<em>x</em>² • <em>x</em>, and
-2<em>x</em>² (<em>x</em> - 2) = -2<em>x</em>³ + 4<em>x</em>²
Subtract this from the previous remainder to get a new remainder of
(-2<em>x</em>³ - <em>x</em>² + 9<em>x</em> + 5) - (-2<em>x</em>³ + 4<em>x</em>²) = -5<em>x</em>² + 9<em>x</em> + 5
-5<em>x</em>² = -5<em>x</em> • <em>x</em>, and
-5<em>x</em> (<em>x</em> - 2) = -5<em>x</em>² + 10<em>x</em>
Subtract this from the last remainder to get a new one of
(-5<em>x</em>² + 9<em>x</em> + 5) - (-5<em>x</em>² + 10<em>x</em>) = -<em>x</em> + 5
-<em>x</em> = -1 • <em>x</em>, and
-1 (<em>x</em> - 2) = -<em>x</em> + 2
This gives a new remainder of
(-<em>x</em> + 5) - (-<em>x</em> + 2) = 3
3 does not divide <em>x</em>, so we're done.
So, we have
(3<em>x</em>⁴ - 8<em>x</em>³ - <em>x</em>² + 9<em>x</em> + 5) / (<em>x</em> - 2) = 3<em>x</em>³ - 2<em>x</em>² - 5<em>x</em> - 1 + 3/(<em>x</em> - 2)
