Question

Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, igual, del vecino?

Answer 1

Answer:

Se necesitan 810 baldosas de $\\ 400cm^{2}$ (baldosas cuadradas de 20cm de lado) para cubrir un patio igual rectangular que se cubren con 540 baldosas de $\\ 600cm^{2}$.

Step-by-step explanation:

Estrategia para resolver el problema

Para este problema es necesario saber el área de las baldosas de 20cm de lado. Luego debemos determinar, por regla de tres simple proporcional inversa, la cantidad de baldosas necesarias para cubrir un patio igual al que se cubrió con 540 baldosas de $\\ 600cm^{2}$. Es una manera de resolver este problema.

Determinación del área de las baldosas de 20cm de lado

El área de un cuadrado es igual al lado de éste elevado al cuadrado:

$\\ A_{cuadrado} = l * l = l^{2}$

Si la baldosa es cuadrada y tiene 20cm de lado, entonces su área es:

$\\ A = 20cm * 20cm = {(20cm)}^2$

$\\ A = 400cm^{2}$

Por lo tanto, el área de la baldosa es de $\\ A = 400cm^{2}$.

Uso de proporciones para resolver una regla de tres simple inversa

Recordemos también que una razón es la relación que guarda un cantidad con otra y se expresa:

$\\ \frac{a}{b}$

Una proporción es el resultado de igualar dos razones:

$\\ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Ahora debemos resolver el siguiente problema: si se usaron 540 baldosas de $\\ A = 600cm^{2}$ para cubrir un patio rectangular: ¿cuántas baldosas de $\\ A = 400cm^{2}$ se necesitarán para cubrir un patio de igual tamaño?

Hay que considerar que a mayor área de la baldosa, menor número de baldosas se utilizarán. A menor área de la baldosa, mayor será el número de éstas que se utilizarán. Por lo tanto, es una relación inversamente proporcional.

Entonces, usando proporciones, el problema se puede plantear de la siguiente manera:

$\\ \frac{540\;baldosas}{X\;baldosas} = \frac{400cm^{2}}{600cm^{2}}$

Que es equivalente a

$\\ \frac{X\;baldosas}{540\;baldosas} = \frac{600cm^{2}}{400cm^{2}}$ [1]

Nótese que la razón entre baldosas es distinta a la razón entre las áreas, por ser cantidades inversamente proporcionales: la razón entre el número de baldosas es inversa a la razón entre las áreas de éstas.

Es importante también considerar que se debe establecer estas razones entre la misma especie de objeto a comparar (baldosas-baldosas y área-area).

Entonces, resolviendo la ecuación [1], tenemos que:

$\\ \frac{X\;baldosas}{540\;baldosas} = \frac{600cm^{2}}{400cm^{2}}$

Para despejar X, multiplicamos a cada lado de la igualdad por 540 baldosas.  

$\\ \frac{X\;baldosas}{540\;baldosas} * 540\;baldosas = \frac{600cm^{2}}{400cm^{2}} * 540\;baldosas$

$\\ X\;baldosas * \frac{540\;baldosas}{540\;baldosas} = \frac{600cm^{2}}{400cm^{2}} * 540\;baldosas$

$\\ X\;baldosas * 1 = \frac{600cm^{2}}{400cm^{2}} * 540\;baldosas$

$\\ X\;baldosas = \frac{600cm^{2}}{400cm^{2}} * 540\;baldosas$

Simplificando:

$\\ X\;baldosas = \frac{6}{4} * 540\;baldosas$

$\\ X\;baldosas = \frac{3}{2} * 540\;baldosas$

$\\ X\;baldosas = \frac{3 * 540}{2}\;baldosas$

Podemos proceder de la siguiente manera, sabiendo que 540 es para y es divisible por 2.

$\\ X\;baldosas = 3 * \frac{540}{2}\;baldosas$

$\\ X\;baldosas = 3 * 270\;baldosas$

$\\ X\;baldosas = 810\;baldosas$

Es decir, se necesitan 810 baldosas de $\\ 400cm^{2}$ (baldosas cuadradas de 20cm de lado) para cubrir un patio rectangular que se cubren con 540 baldosas de $\\ 600cm^{2}$.