1. The factoring step is
sin²<em>θ</em> - cos²<em>θ</em> sin²<em>θ</em> = sin²<em>θ</em> (1 - cos²<em>θ</em>)
Then the Pythagorean identity is invoked:
cos²<em>θ</em> + sin²<em>θ</em> = 1 → 1 - cos²<em>θ</em> = sin²<em>θ</em>
so that
sin²<em>θ</em> - cos²<em>θ</em> sin²<em>θ</em> = sin²<em>θ</em> sin²<em>θ</em> = sin⁴<em>θ</em>
(third option)
<em />
2. Recall that <em>a</em> ² - <em>b</em> ² = (<em>a</em> - <em>b</em>) (<em>a</em> + <em>b</em>). The numerator here is such a difference of squares:
csc²<em>x</em> - 1 = (csc<em>x</em> - 1) (csc<em>x</em> + 1)
Then
(csc²<em>x</em> - 1) / (1 + sin<em>x</em>) = ((csc<em>x</em> - 1) (csc<em>x</em> + 1)) / (1 + sin<em>x</em>)
Recall that csc<em>x</em> = 1/sin<em>x</em>, so rewrite this as
… = ((1/sin<em>x</em> - 1) (1/sin<em>x</em> + 1)) / (1 + sin<em>x</em>)
In the numerator, pull out a factor of 1/sin<em>x</em> from both terms:
… = (1/sin<em>x</em> (1 - sin<em>x</em>) × 1/sin<em>x</em> (1 + sin<em>x</em>)) / (1 + sin<em>x</em>)
… = ((1 - sin<em>x</em>) (1 + sin<em>x</em>)) / (sin²<em>x</em> (1 + sin<em>x</em>))
Cancel the common factor of 1 + sin<em>x</em> :
… = (1 - sin<em>x</em>) / sin²<em>x</em>
Expand the fraction and rewrite sin in terms of csc :
… = 1/sin²<em>x</em> - sin<em>x</em>/sin²<em>x</em>
… = 1/sin²<em>x</em> - 1/sin<em>x</em>
… = csc²<em>x</em> - csc<em>x</em>
Factor out csc<em>x</em> to get the second option,
… = csc<em>x</em> (csc<em>x</em> - 1)
