Recall the angle sum identity for cosine:
cos(<em>x</em> + <em>y</em>) = cos(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) - sin(<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
cos(<em>x</em> - <em>y</em>) = cos(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) + sin(<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
==> sin(<em>x</em>) sin(<em>y</em>) = 1/2 (cos(<em>x</em> - <em>y</em>) - cos(<em>x</em> + <em>y</em>))
Then rewrite the equation as
sin(4<em>x</em>) sin(5<em>x</em>) + sin(4<em>x</em>) sin(3<em>x</em>) - sin(2<em>x</em>) sin(<em>x</em>) = 0
1/2 (cos(-<em>x</em>) - cos(9<em>x</em>)) + 1/2 (cos(<em>x</em>) - cos(7<em>x</em>)) - 1/2 (cos(<em>x</em>) - cos(3<em>x</em>)) = 0
1/2 (cos(9<em>x</em>) - cos(<em>x</em>)) + 1/2 (cos(7<em>x</em>) - cos(3<em>x</em>)) = 0
sin(5<em>x</em>) sin(-4<em>x</em>) + sin(5<em>x</em>) sin(-2<em>x</em>) = 0
-sin(5<em>x</em>) (sin(4<em>x</em>) + sin(2<em>x</em>)) = 0
sin(5<em>x</em>) (sin(4<em>x</em>) + sin(2<em>x</em>)) = 0
Recall the double angle identity for sine:
sin(2<em>x</em>) = 2 sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>)
Rewrite the equation again as
sin(5<em>x</em>) (2 sin(2<em>x</em>) cos(2<em>x</em>) + sin(2<em>x</em>)) = 0
sin(5<em>x</em>) sin(2<em>x</em>) (2 cos(2<em>x</em>) + 1) = 0
sin(5<em>x</em>) = 0 <u>or</u> sin(2<em>x</em>) = 0 <u>or</u> 2 cos(2<em>x</em>) + 1 = 0
sin(5<em>x</em>) = 0 <u>or</u> sin(2<em>x</em>) = 0 <u>or</u> cos(2<em>x</em>) = -1/2
sin(5<em>x</em>) = 0 ==> 5<em>x</em> = arcsin(0) + 2<em>nπ</em> <u>or</u> 5<em>x</em> = arcsin(0) + <em>π</em> + 2<em>nπ</em>
… … … … … ==> 5<em>x</em> = 2<em>nπ</em> <u>or</u> 5<em>x</em> = (2<em>n</em> + 1)<em>π</em>
… … … … … ==> <em>x</em> = 2<em>nπ</em>/5 <u>or</u> <em>x</em> = (2<em>n</em> + 1)<em>π</em>/5
sin(2<em>x</em>) = 0 ==> 2<em>x</em> = arcsin(0) + 2<em>nπ</em> <u>or</u> 2<em>x</em> = arcsin(0) + <em>π</em> + 2<em>nπ</em>
… … … … … ==> 2<em>x</em> = 2<em>nπ</em> <u>or</u> 2<em>x</em> = (2<em>n</em> + 1)<em>π</em>
… … … … … ==> <em>x</em> = <em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = (2<em>n</em> + 1)<em>π</em>/2
cos(2<em>x</em>) = -1/2 ==> 2<em>x</em> = arccos(-1/2) + 2<em>nπ</em> <u>or</u> 2<em>x</em> = -arccos(-1/2) + 2<em>nπ</em>
… … … … … … ==> 2<em>x</em> = 2<em>π</em>/3 + 2<em>nπ</em> <u>or</u> 2<em>x</em> = -2<em>π</em>/3 + 2<em>nπ</em>
… … … … … … ==> <em>x</em> = <em>π</em>/3 + <em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = -<em>π</em>/3 + <em>nπ</em>
<em />
(where <em>n</em> is any integer)
