sin(<em>x</em> - 20)° = cos(5<em>x</em> - 10)°
Expand 5<em>x</em> - 10 in terms of <em>x</em> - 20:
5<em>x</em> - 10 = 5<em>x</em> - 100 + 90
… = 5 (<em>x</em> - 20) + 90
and recall that for all <em>θ</em>, cos(<em>θ</em> + 90)° = - sin(<em>θ</em>)°, so
sin(<em>x</em> - 20)° = cos(5 (<em>x</em> - 20) + 90)°
sin(<em>x</em> - 20)° = - sin(5 (<em>x</em> - 20))°
Replace (<em>x</em> - 20)° = <em>y</em> ° to make this a bit easier to read:
sin(<em>y </em>°) = - sin(5<em>y</em> )°
Expand the right side in terms of powers of sin:
sin(5<em>θ</em>) = 5 sin(<em>θ</em>) - 20 sin³(<em>θ</em>) + 16 sin⁵(<em>θ</em>)
so the equation becomes
sin(<em>y </em>°) = -5 sin(<em>y</em> °) + 20 sin³(<em>y</em> °) - 16 sin⁵(<em>y</em> °)
16 sin⁵(<em>y</em> °) - 20 sin³(<em>y</em> °) + 6 sin(<em>y </em>°) = 0
Replace <em>z</em> = sin(<em>y</em> °) to get a polynomial equation:
16<em>z </em>⁵ - 20<em>z</em> ³ + 6<em>z</em> = 0
Factorize the left side:
2<em>z</em> (8<em>z</em> ⁴ - 10<em>z</em> ² + 3) = 0
2<em>z</em> (2<em>z</em> ² - 1) (4<em>z</em> ² - 3) = 0
Solve for <em>z</em> :
• 2<em>z</em> = 0 → <em>z</em> = 0
• 2<em>z</em> ² - 1 = 0 → <em>z</em> ² = 1/2 → <em>z</em> = ± 1/√2
• 4<em>z</em> ² - 3 = 0 → <em>z</em> ² = 3/4 → <em>z</em> = ± √3/2
Solve for <em>y</em> in each case above:
• <em>z</em> = sin(<em>y </em>°) = 0 → <em>y</em> = 0 + 360<em>n</em> <u>or</u> <em>y</em> = 180 + 360<em>n</em>
(where <em>n</em> is any integer)
These solutions can be combined into one family, <em>y</em> = 180<em>n</em>.
• <em>z</em> = sin(<em>y </em>°) = -1/√2 → <em>y</em> = 225 + 360<em>n</em> <u>or</u> <em>y</em> = 315 + 360<em>n</em>
• <em>z</em> = sin(<em>y </em>°) = 1/√2 → <em>y</em> = 45 + 360<em>n</em> <u>or</u> <em>y</em> = 135 + 360<em>n</em>
These solutions can also be combined, <em>y</em> = 45 + 90<em>n</em>.
• <em>z</em> = sin(<em>y </em>°) = -√3/2 → <em>y</em> = 240 + 360<em>n</em> <u>or</u> <em>y</em> = 300 + 360<em>n</em>
• <em>z</em> = sin(<em>y </em>°) = √3/2 → <em>y</em> = 60 + 360<em>n</em> <u>or</u> <em>y</em> = 120 + 360<em>n</em>
These can be combined as <em>y</em> = 60 + 180<em>n</em> <u>or</u> <em>y</em> = 120 + 180<em>n</em>.
Solve for <em>x</em> in each case:
• <em>y</em> = <em>x</em> - 20 = 180<em>n</em> → <em>x</em> = 20 + 180<em>n</em>
• <em>y</em> = <em>x</em> - 20 = 45 + 90<em>n</em> → <em>x</em> = 65 + 90<em>n</em>
• <em>y</em> = <em>x</em> - 20 = 60 + 180<em>n</em> → <em>x</em> = 80 + 180<em>n</em>
• <em>y</em> = <em>x</em> - 20 = 120 + 180<em>n</em> → <em>x</em> = 140 + 180<em>n</em>
