It looks like the equation reads
2<em>yy'</em> = exp(<em>x</em> - <em>y</em> ²)
(where exp(<em>blah</em>) = <em>e </em>^(<em>blah</em>))
This DE is separable:
2<em>y</em> d<em>y</em>/d<em>x</em> = exp(<em>x</em>) exp(-<em>y</em> ²)
==> 2<em>y</em> exp(<em>y</em> ²) d<em>y</em> = exp(<em>x</em>) d<em>x</em>
<em />
Integrating both sides gives
exp(<em>y</em> ²) = exp(<em>x</em>) + <em>C</em>
<em />
The initial condition tells you that <em>y</em> = -2 when <em>x</em> = 4, so that
exp((-2)²) = exp(4) + <em>C</em>
exp(4) = exp(4) + <em>C</em>
==> <em>C</em> = 0
Then the particular solution to this DE is
exp(<em>y</em> ²) = exp(<em>x</em>)
Solving for <em>y</em> as a function of <em>x</em> gives
<em>y</em> ² = <em>x</em>
<em>y</em> = ±√<em>x</em>
But bearing in mind that <em>y</em> = -2 < 0 when <em>x</em> = 4, only the negative square root solution satisfies the DE. So
<em>y(x)</em> = -√<em>x</em>