tan(2<em>A</em>) + sin(2<em>A</em>) = sin(2<em>A</em>)/cos(2<em>A</em>) + sin(2<em>A</em>)
• rewrite tan = sin/cos
… = 1/cos(2<em>A</em>) (sin(2<em>A</em>) + sin(2<em>A</em>) cos(2<em>A</em>))
• expand the functions of 2<em>A</em> using the double angle identities
… = 2/(2 cos²(<em>A</em>) - 1) (sin(<em>A</em>) cos(<em>A</em>) + sin(<em>A</em>) cos(<em>A</em>) (cos²(<em>A</em>) - sin²(<em>A</em>)))
• factor out sin(<em>A</em>) cos(<em>A</em>)
… = 2 sin(<em>A</em>) cos(<em>A</em>)/(2 cos²(<em>A</em>) - 1) (1 + cos²(<em>A</em>) - sin²(<em>A</em>))
• simplify the last factor using the Pythagorean identity, 1 - sin²(<em>A</em>) = cos²(<em>A</em>)
… = 2 sin(<em>A</em>) cos(<em>A</em>)/(2 cos²(<em>A</em>) - 1) (2 cos²(<em>A</em>))
• rearrange terms in the product
… = 2 sin(<em>A</em>) cos(<em>A</em>) (2 cos²(<em>A</em>))/(2 cos²(<em>A</em>) - 1)
• combine the factors of 2 in the numerator to get 4, and divide through the rightmost product by cos²(<em>A</em>)
… = 4 sin(<em>A</em>) cos(<em>A</em>) / (2 - 1/cos²(<em>A</em>))
• rewrite cos = 1/sec, i.e. sec = 1/cos
… = 4 sin(<em>A</em>) cos(<em>A</em>) / (2 - sec²(<em>A</em>))
• divide through again by cos²(<em>A</em>)
… = (4 sin(<em>A</em>)/cos(<em>A</em>)) / (2/cos²(<em>A</em>) - sec²(<em>A</em>)/cos²(<em>A</em>))
• rewrite sin/cos = tan and 1/cos = sec
… = 4 tan(<em>A</em>) / (2 sec²(<em>A</em>) - sec⁴(<em>A</em>))
• factor out sec²(<em>A</em>) in the denominator
… = 4 tan(<em>A</em>) / (sec²(<em>A</em>) (2 - sec²(<em>A</em>)))
• rewrite using the Pythagorean identity, sec²(<em>A</em>) = 1 + tan²(<em>A</em>)
… = 4 tan(<em>A</em>) / ((1 + tan²(<em>A</em>)) (2 - (1 + tan²(<em>A</em>))))
• simplify
… = 4 tan(<em>A</em>) / ((1 + tan²(<em>A</em>)) (1 - tan²(<em>A</em>)))
• condense the denominator as the difference of squares
… = 4 tan(<em>A</em>) / (1 - tan⁴(<em>A</em>))
(Note that some of these steps are optional or can be done simultaneously)
