Question

Solve the Anti derivative.​

Answer 1

Answer:

$\displaystyle \int {\frac{1}{9x^2+4}} \, dx = \frac{1}{6}arctan(\frac{3x}{2}) + C$

General Formulas and Concepts:

Algebra I

• Factoring

Calculus

Antiderivatives - integrals/Integration

Integration Constant C

U-Substitution

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                                $\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx$

Trig Integration:                                                                                                           $\displaystyle \int {\frac{du}{a^2 + u^2}} = \frac{1}{a}arctan(\frac{u}{a}) + C$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

$\displaystyle \int {\frac{1}{9x^2 + 4}} \, dx$

Step 2: Integrate Pt. 1

1. [Integral] Factor fraction denominator:                                                         $\displaystyle \int {\frac{1}{9(x^2 + \frac{4}{9})}} \, dx$
2. [Integral] Integration Property - Multiplied Constant:                                   $\displaystyle \frac{1}{9} \int {\frac{1}{x^2 + \frac{4}{9}}} \, dx$

Step 3: Identify Variables

Set up u-substitution for the arctan trig integration.

$\displaystyle u = x \\ a = \frac{2}{3} \\ du = dx$

Step 4: Integrate Pt. 2

1. [Integral] Substitute u-du:                                                                               $\displaystyle \frac{1}{9} \int {\frac{1}{u^2 + (\frac{2}{3})^2} \, du$
2. [Integral] Trig Integration:                                                                               $\displaystyle \frac{1}{9}[\frac{1}{\frac{2}{3}}arctan(\frac{u}{\frac{2}{3}})] + C$
3. [Integral] Simplify:                                                                                           $\displaystyle \frac{1}{9}[\frac{3}{2}arctan(\frac{3u}{2})] + C$
4. [integral] Multiply:                                                                                           $\displaystyle \frac{1}{6}arctan(\frac{3u}{2}) + C$
5. [Integral] Back-Substitute:                                                                             $\displaystyle \frac{1}{6}arctan(\frac{3x}{2}) + C$

Topic: AP Calculus AB

Unit: Integrals - Arctrig

Book: College Calculus 10e