Question

Se desea construir un vaso de papel en forma de cono circular recto que tenga un volumen de 25πcm3

Answer 1

Answer:

Para un vaso de $V = 25\pi\,cm^{3}$, las dimensiones del vaso son $r \approx 2.321\,cm$ y $h \approx 4.642\,cm$.

Para un vaso de $V = 1000\,cm^{3}$, las dimensiones del vaso son $r \approx 5.419\,cm$ y $h \approx 10.839\,cm$.

Step-by-step explanation:

El vaso se puede modelar como un cilindro recto. El enunciado pregunta por las dimensiones del vaso tal que su área superficial ($A_{s}$), en centímetros cuadrados, sea mínima para el volumen dado ($V$), en centímetros cúbicos. Las ecuaciones de volumen y área superficial son, respectivamente:

$V = \pi\cdot r^{2}\cdot h$ (1)

$A_{s} = 2\pi\cdot r^{2} + 2\pi\cdot r\cdot h$ (2)

De (1):

$h = \frac{V}{\pi\cdot r^{2}}$

En (2):

$A_{s} = 2\pi\cdot r^{2} + 2\pi\cdot \left(\frac{V}{\pi\cdot r} \right)$

$A_{s} = 2\cdot \left(\pi\cdot r^{2}+V\cdot r^{-1} \right)$

Asumamos que $V$ es constante, la primera y segunda derivadas de la función son, respectivamente:

$A'_{s} = 2\cdot (2\pi\cdot r -V\cdot r^{-2})$

$A'_{s} = 4\pi\cdot r - 2\cdot V\cdot r^{-2}$ (3)

$A''_{s} = 4\pi + 4\cdot V \cdot r^{-3}$ (4)

Si igualamos $A'_{s}$ a cero, entonces hallamos los siguientes puntos críticos:

$4\pi\cdot r - 2\cdot V\cdot r^{-2} = 0$

$4\pi\cdot r = 2\cdot V\cdot r^{-2}$

$4\pi\cdot r^{3} = 2\cdot V$

$r^{3} = \frac{V}{2\pi}$

$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi} }$ (5)

Ahora, si aplicamos este valor a (4), tenemos que:

$A_{s}'' = 4\pi + \frac{4\cdot V}{\frac{V}{2\pi} }$

$A''_{s} = 4\pi + 8\pi$

$A_{s}'' = 12\pi$ (6)

De acuerdo con este resultado, el valor crítico está asociado al área superficial mínima. Ahora, la altura se calcula a partir de (5) y (1):

$h = \frac{V}{\pi\cdot \left(\frac{V}{2\pi} \right)^{2/3} }$

$h = \frac{2^{2/3}\cdot \pi^{2/3}\cdot V}{\pi\cdot V^{2/3}}$

$h = \frac{2^{2/3}\cdot V^{1/3}}{\pi^{1/3}}$

Si $V = 25\pi\,cm^{3}$, entonces las dimensiones del vaso son:

$r = \sqrt[3]{\frac{25\pi\,cm^{3}}{2\pi} }$

$r \approx 2.321\,cm$

$h = \frac{2^{2/3}\cdot (25\pi\,cm^{3})^{1/3}}{\pi^{1/3}}$

$h \approx 4.642\,cm$

Un litro equivale a 1000 centímetros cúbicos, las dimensiones del vaso son:

$r = \sqrt[3]{\frac{1000\,cm^{3}}{2\pi} }$

$r \approx 5.419\,cm$

$h = \frac{2^{2/3}\cdot (1000\,cm^{3})^{1/3}}{\pi^{1/3}}$

$h \approx 10.839\,cm$