Answer:
Para un vaso de
, las dimensiones del vaso son
y
.
Para un vaso de
, las dimensiones del vaso son
y
.
Step-by-step explanation:
El vaso se puede modelar como un cilindro recto. El enunciado pregunta por las dimensiones del vaso tal que su área superficial (
), en centímetros cuadrados, sea mínima para el volumen dado (
), en centímetros cúbicos. Las ecuaciones de volumen y área superficial son, respectivamente:
(1)
(2)
De (1):

En (2):


Asumamos que
es constante, la primera y segunda derivadas de la función son, respectivamente:

(3)
(4)
Si igualamos
a cero, entonces hallamos los siguientes puntos críticos:




(5)
Ahora, si aplicamos este valor a (4), tenemos que:


(6)
De acuerdo con este resultado, el valor crítico está asociado al área superficial mínima. Ahora, la altura se calcula a partir de (5) y (1):



Si
, entonces las dimensiones del vaso son:
![r = \sqrt[3]{\frac{25\pi\,cm^{3}}{2\pi} }](https://tex.z-dn.net/?f=r%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B25%5Cpi%5C%2Ccm%5E%7B3%7D%7D%7B2%5Cpi%7D%20%7D)



Un litro equivale a 1000 centímetros cúbicos, las dimensiones del vaso son:
![r = \sqrt[3]{\frac{1000\,cm^{3}}{2\pi} }](https://tex.z-dn.net/?f=r%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B1000%5C%2Ccm%5E%7B3%7D%7D%7B2%5Cpi%7D%20%7D)


