Question

The acceleration of an object is =4 m/s^2.?

Answer 1

Answer:

$\displaystyle s(t) = \frac{2t^3}{3} + 16t + 9$

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

1. Brackets
2. Parenthesis
3. Exponents
4. Multiplication
5. Division
6. Addition
7. Subtraction

• Left to Right  

Calculus

Antiderivatives - Integrals

Integration Constant C

Integration Rule [Reverse Power Rule]:                                                               $\displaystyle \int {x^n} \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         $\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx$

Integration Property [Addition/Subtraction]:                                                       $\displaystyle \int {[f(x) \pm g(x)]} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx$

Step-by-step explanation:

*Note:

Velocity is the derivative of Position, and Acceleration is derivative of Velocity.

↓

Velocity is integration of Acceleration, Position is integration of Velocity.

Step 1: Define

a(t) = 4t m/s²

s(0) = 9 m

v(0) = 16 m/s

Step 2: Find Velocity Function

Integration Pt. 1

1. [Velocity] Set up integral:                                                                             $\displaystyle v(t) = \int {a(t)} \, dt$
2. [Velocity] Substitute in function:                                                                   $\displaystyle v(t) = \int {4t} \, dt$
3. [Velocity] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 $\displaystyle v(t) = 4\int {t} \, dt$
4. [Velocity] Integrate [Integration Rule - Reverse Power Rule]:                   $\displaystyle v(t) = 4(\frac{t^2}{2}) + C$
5. [Velocity] Multiply:                                                                                         $\displaystyle v(t) = 2t^2 + C$

Finding C

1. [Velocity] Substitute in initial condition:                                                       $\displaystyle v(0) = 2(0)^2 + C$
2. [Velocity] Substitute in function value:                                                         $\displaystyle 16 = 2(0)^2 + C$
3. [Velocity] Evaluate exponents:                                                                     $\displaystyle 16 = 2(0) + C$
4. [Velocity] Multiply:                                                                                         $\displaystyle 16 = C$
5. Rewrite:                                                                                                         $\displaystyle C = 16$

Velocity Function: $\displaystyle v(t) = 2t^2 + 16$

Step 3: Find Position Function

Integration Pt. 2

1. [Position] Set up integral:                                                                             $\displaystyle s(t) = \int {v(t)} \, dt$
2. [Position] Substitute in function:                                                                   $\displaystyle s(t) = \int {2t^2 + 16} \, dt$
3. [Position] Rewrite [Integration Property - Addition]:                                    $\displaystyle s(t) = \int {2t^2} \, dt + \int {16} \, dt$
4. [Position] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 $\displaystyle s(t) = 2\int {t^2} \, dt + 16\int {} \, dt$
5. [Position] Integrate [Integration Rule - Reverse Power Rule]:                   $\displaystyle s(t) = 2(\frac{t^3}{3}) + 16t + C$
6. [Position] Multiply:                                                                                         $\displaystyle s(t) = \frac{2t^3}{3} + 16t + C$

Finding C

1. [Position] Substitute in initial condition:                                                       $\displaystyle s(0) = \frac{2(0)^3}{3} + 16(0) + C$
2. [Position] Substitute in function value:                                                         $\displaystyle 9 = \frac{2(0)^3}{3} + 16(0) + C$
3. [Position] Evaluate exponents:                                                                     $\displaystyle 9 = \frac{2(0)}{3} + 16(0) + C$
4. [Position] Multiply:                                                                                         $\displaystyle 9 = \frac{0}{3} + C$
5. [Position] Divide:                                                                                           $\displaystyle 9 = C$
6. [Position] Rewrite:                                                                                         $\displaystyle C = 9$

Position Function: $\displaystyle s(t) = \frac{2t^3}{3} + 16t + 9$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/II)

Unit: Integration

Book: College Calculus 10e