Question

Differentiate the function. y = (2x - 5)^2 (5 - x)?​

Answer 1

Answer:

$\displaystyle y' = -(2x - 5)(6x - 25)$

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

1. Brackets
2. Parenthesis
3. Exponents
4. Multiplication
5. Division
6. Addition
7. Subtraction

• Left to Right

Distributive Property

Algebra I

• Terms/Coefficients
• Factoring

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Derivative of a constant is 0

Basic Power Rule:

• f(x) = cxⁿ
• f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Product Rule]:                                                                                    $\displaystyle \frac{d}{dx} [f(x)g(x)]=f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                       $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

y = (2x - 5)²(5 - x)

Step 2: Differentiate

1. Derivative Rule [Product Rule]:                                                                        $\displaystyle y' = \frac{d}{dx}[(2x - 5)^2](5 - x) + (2x - 5)^2\frac{d}{dx}[(5 - x)]$
2. Chain Rule [Basic Power Rule]:                                                                        $\displaystyle y' = [2(2x - 5)^{2 - 1} \cdot \frac{d}{dx}[2x]](5 - x) + (2x - 5)^2\frac{d}{dx}[(5 - x)]$
3. Simplify:                                                                                                             $\displaystyle y' = [2(2x - 5) \cdot \frac{d}{dx}[2x]](5 - x) + (2x - 5)^2\frac{d}{dx}[(5 - x)]$
4. Basic Power Rule:                                                                                             $\displaystyle y' = [2(2x - 5) \cdot 1 \cdot 2x^{1 - 1}](5 - x) + (2x - 5)^2(1 \cdot -x^{1 - 1})]$
5. Simplify:                                                                                                             $\displaystyle y' = [2(2x - 5) \cdot 2](5 - x) + (2x - 5)^2(-1)$
6. Multiply:                                                                                                             $\displaystyle y' = 4(2x - 5)(5 - x) - (2x - 5)^2$
7. Factor:                                                                                                               $\displaystyle y' = (2x - 5)[4(5 - x) - (2x - 5)]$
8. [Distributive Property] Distribute 4:                                                                 $\displaystyle y' = (2x - 5)[20 - 4x - (2x - 5)]$
9. [Distributive Property] Distribute negative:                                                    $\displaystyle y' = (2x - 5)[20 - 4x - 2x + 5]$
10. [Subtraction] Combine like terms (x):                                                              $\displaystyle y' = (2x - 5)[20 - 6x + 5]$
11. [Addition] Combine like terms:                                                                        $\displaystyle y' = (2x - 5)(25 - 6x)$
12. Factor:                                                                                                               $\displaystyle y' = -(2x - 5)(6x - 25)$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Derivatives

Book: College Calculus 10e