Question

[4] 7. Find f if f"(x) = x^2+ sin x f'(0) = 2 f(0) =4

Answer 1

Answer:

$f(x) = \frac{x^4}{12} - sin(x) + 3x + 4$

General Formulas and Concepts:

Calculus

• Antiderivatives
• Integration Constant C
• [Int Rule] Reverse Power Rule: $\int {x^n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
• Integration Property 1: $\int {cf(x)} \, dx = c\int {f(x)} \, dx$
• Integration Property 2: $\int {f(x)+g(x)} \, dx = \int {f(x)} \, dx + \int {g(x)} \, dx$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

f"(x) = x² + sin(x)

Condition f'(0) = 2

Condition f(0) = 4

Step 2: Integrate Pt. 1

1. Set up:                                                                                                   $f'(x) = \int {f"(x)} \, dx$
2. Substitute:                                                                                            $f'(x) = \int [{x^2 + sin(x)}] \, dx$
3. Rewrite [Int Property 2]:                                                                          $f'(x) = \int {x^2} \, dx + \int {sin(x)} \, dx$
4. Integrate [Reverse Power Rule/Trig]:                                                    $f'(x) = \frac{x^3}{3} - cos(x) + C$

Step 3: Find f'(x)

Use the given condition to find the differential equation.

1. Substitute:                    $f'(0) = \frac{0^3}{3} - cos(0) + C$
2. Substitute:                    $2 = \frac{0^3}{3} - cos(0) + C$
3. Evaluate:                      $2 = 0 - 1 + C$
4. Solve:                           $3 = C$
5. Define:                         $f'(x) = \frac{x^3}{3} - cos(x) + 3$

Step 4: Integrate Pt. 2

1. Set up:                                                                                                   $f(x) = \int {f'(x)} \, dx$
2. Substitute:                                                                                              $f(x) = \int [{\frac{x^3}{3} - cos(x) + 3}] \, dx$
3. Rewrite [Int Property 2]:                                                                                $f(x) = \int {\frac{x^3}{3} } \, dx + \int {-cos(x)} \, dx + \int {3} \, dx$
4. Rewrite [Int Property 1]:                                                                            $f(x) = \frac{1}{3} \int {x^3} \, dx - \int {cos(x)} \, dx + \int {3} \, dx$
5. Integrate {Reverse Power Rule/Trig]:                                                      $f(x) = \frac{1}{3}(\frac{x^4}{4} ) - sin(x) + 3x + C$
6. Simplify:                                                                                                    $f(x) = \frac{x^4}{12} - sin(x) + 3x + C$

Step 5: Find f(x)

Use the given condition to find the equation.

1. Substitute:                    $f(0) = \frac{0^4}{12} - sin(0) + 3(0) + C$
2. Substitute:                    $4 = \frac{0^4}{12} - sin(0) + 3(0) + C$
3. Evaluate:                       $4 = 0 - 0 + 0+ C$
4. Solve:                            $4 = C$
5. Define:                          $f(x) = \frac{x^4}{12} - sin(x) + 3x + 4$