Question

1. Encuentra la medida del área de un triángulo equilátero de 8cm de lado. Resuelve este ejercicio de dos formas diferentes:

Answer 1

Answer:

Primero, la formula de Herón dice que:

Para un triangulo de lados a, b, y c

$area = \sqrt{s*(s - a)*(s - b)*(s - c)}$

Tal que:

s = (a + b + c)/2

Y el teorema de Pitágoras dice que, para un triángulo rectángulo con hipotenusa H, y catetos A y B, se cumple que:

A^2 + B^2 = H^2

1)

a) Para un triangulo equilátero de 8 cm de lado, tenemos:

a = b = c = 8 cm

reemplazando eso en la ecuacion de s, obtenemos:

s = (3*8cm)/2 = 12cm

Ahora, remplazando s en la ecuacion del area, obtenemos:

$area = \sqrt{12cm*(12cm - 8cm)*(12cm - 8cm)*(12cm - 8cm)} = 27.7 cm^2$

b) Podemos dividir al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos, tal que:

Cada uno de esos triángulos rectángulos tiene una hipotenusa de 8 cm.

Cada uno de esos triángulos rectángulos tiene un cateto que es la mitad del largo original de la base, es decir, 8cm/2 = 4cm

Y ambos triángulos comparten un cateto, que es h, la altura del triángulo.

Usando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

h^2 + (4cm)^2 = (8cm)^2

Resolviendo esto para h, obtenemos:

h = √( (8cm)^2 - (4cm)^2) = 6.93 cm

Ahora que conocemos la altura del triángulo, la podemos reemplazar en la ecuación del área:

area = b*h/2 = base*altura/2

y sabemos que la base del triángulo equilátero es 8cm, entonces:

area = 8cm*6.93 cm/2 = 27.72cm^2

(El resultado es un poco diferente, pero se debe principalmente a errores de redondeo)

Si redondeamos esta area a una cifra significativa, obtenemos:

area = 27.7 cm^2

2) Problema similar, esta vez tenemos un triángulo equilátero de lado 12cm.

a) a =  b = c = 12cm

s = (3*12cm)/2 = 3*6cm = 18cm

Reemplazando esto en la fórmula del área, obtenemos:

$area = \sqrt{18cm*(18cm - 12cm)*(18cm - 12cm)*(18cm - 12cm)} = 62.35cm^2$

b) Ahora usando teorema de Pitágoras:

De vuelta, dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos.

Ambos tienen una hipotenusa de 12cm

ambos tienen un cateto de 12cm/2 = 6cm

Ambos comparten un cateto que llamaremos h, que es la altura del triángulo.

Ahora aplicamos el teorema de Pitágoras:

(6cm)^2 + h^2 = (12cm)^2

Resolviendo esto para h obtenemos:

h = √( (12cm)^2 - (6cm)^2) = 10.39 cm

Ahora reemplazando esto en la ecuación del área, (recordar que la base de un triángulo equilátero de 12 cm de lado, es 12 cm)

area = b*h/2 = 12cm*10.39 cm/2 = 62.34 cm^2

De vuelta los resultados son equivalentes a una cifra significativa, y podemos asumir que la diferencia se debe, de vuelta, a errores de redondeo.