Question

Una escalera de 131313 metros está recargada contra una pared cuando su base empieza a resbalar. Cuando la base está a 121212 metros de la pared, se mueve a una razón de 5\text{ m/s}5 m/s5, start text, space, m, slash, s, end text. En ese momento, ¿a qué razón está cambiando el ángulo \thetaθtheta entre el piso y la escalera?

Answer 1

Answer:

El ángulo entre el piso y la escalera está cambiando a una razón de -1 radian por segundo.

Step-by-step explanation:

Sea $x$ la distancia horizontal entre la pared y la base de la escalera y $l$ la longitud de la escalera, medidas en metros. Además, tenemos que $\theta$ es el ángulo entre la escalera y el piso, medido en radianes.

Si la pared y el piso son ortogonales entre sí, entonces podemos utilizar la siguiente relación trigonométrica que relaciona las variables anteriores:

$\cos \theta = \frac{x}{l}$  (1)

Por diferenciación implícita y la definición de razón de cambio tenemos que:

$-\sin \theta \,\dot \theta = \frac{\dot x}{l}$ (2)

Donde:

$\dot x$ - Razón de cambio de la distancia horizontal entre la pared y la base de la escalera, medida en metros por segundo.

$\dot \theta$ - Razón de cambio del ángulo entre el piso y la escalera, medida en radianes por segundo.

Pero tenemos que el seno del ángulo está definido por:

$\sin \theta = \frac{\sqrt{l^{2}-x^{2}}}{l}$ (3)

Si aplicamos (3) en (2), expandimos la ecuación como sigue:

$-\frac{\sqrt{l^{2}-x^{2}}}{l}\,\dot \theta = \frac{\dot x}{l}$

$\dot \theta = - \frac{\dot x}{\sqrt{l^{2}-x^{2}}}$ (4)

Si tenemos que $\dot x = 5\,\frac{m}{s}$, $l = 13\,m$ y $x = 12\,m$, entonces la razón de cambio del ángulo es:

$\dot \theta = -\frac{\left(5\,\frac{m}{s} \right)}{\sqrt{(13\,m)^{2}-(12\,m)^{2}}}$

$\dot \theta \approx -1\,\frac{rad}{s}$

El ángulo entre el piso y la escalera está cambiando a una razón de -1 radian por segundo.