Answer:
Para un vaso de
, las dimensiones del vaso son
y
.
Para un vaso de
, las dimensiones del vaso son
y
.
Step-by-step explanation:
El vaso se puede modelar como un cilindro recto. El enunciado pregunta por las dimensiones del vaso tal que su área superficial (
), en centímetros cuadrados, sea mínima para el volumen dado (
), en centímetros cúbicos. Las ecuaciones de volumen y área superficial son, respectivamente:
(1)
(2)
De (1):
![h = \frac{V}{\pi\cdot r^{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=h%20%3D%20%5Cfrac%7BV%7D%7B%5Cpi%5Ccdot%20r%5E%7B2%7D%7D)
En (2):
![A_{s} = 2\pi\cdot r^{2} + 2\pi\cdot \left(\frac{V}{\pi\cdot r} \right)](https://tex.z-dn.net/?f=A_%7Bs%7D%20%3D%202%5Cpi%5Ccdot%20r%5E%7B2%7D%20%2B%202%5Cpi%5Ccdot%20%5Cleft%28%5Cfrac%7BV%7D%7B%5Cpi%5Ccdot%20r%7D%20%5Cright%29)
![A_{s} = 2\cdot \left(\pi\cdot r^{2}+V\cdot r^{-1} \right)](https://tex.z-dn.net/?f=A_%7Bs%7D%20%3D%202%5Ccdot%20%5Cleft%28%5Cpi%5Ccdot%20r%5E%7B2%7D%2BV%5Ccdot%20r%5E%7B-1%7D%20%5Cright%29)
Asumamos que
es constante, la primera y segunda derivadas de la función son, respectivamente:
![A'_{s} = 2\cdot (2\pi\cdot r -V\cdot r^{-2})](https://tex.z-dn.net/?f=A%27_%7Bs%7D%20%3D%202%5Ccdot%20%282%5Cpi%5Ccdot%20r%20-V%5Ccdot%20r%5E%7B-2%7D%29)
(3)
(4)
Si igualamos
a cero, entonces hallamos los siguientes puntos críticos:
![4\pi\cdot r - 2\cdot V\cdot r^{-2} = 0](https://tex.z-dn.net/?f=4%5Cpi%5Ccdot%20r%20-%202%5Ccdot%20V%5Ccdot%20r%5E%7B-2%7D%20%3D%200)
![4\pi\cdot r = 2\cdot V\cdot r^{-2}](https://tex.z-dn.net/?f=4%5Cpi%5Ccdot%20r%20%3D%202%5Ccdot%20V%5Ccdot%20r%5E%7B-2%7D)
![4\pi\cdot r^{3} = 2\cdot V](https://tex.z-dn.net/?f=4%5Cpi%5Ccdot%20r%5E%7B3%7D%20%3D%202%5Ccdot%20V)
![r^{3} = \frac{V}{2\pi}](https://tex.z-dn.net/?f=r%5E%7B3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BV%7D%7B2%5Cpi%7D)
(5)
Ahora, si aplicamos este valor a (4), tenemos que:
![A_{s}'' = 4\pi + \frac{4\cdot V}{\frac{V}{2\pi} }](https://tex.z-dn.net/?f=A_%7Bs%7D%27%27%20%3D%204%5Cpi%20%2B%20%5Cfrac%7B4%5Ccdot%20V%7D%7B%5Cfrac%7BV%7D%7B2%5Cpi%7D%20%7D)
![A''_{s} = 4\pi + 8\pi](https://tex.z-dn.net/?f=A%27%27_%7Bs%7D%20%3D%204%5Cpi%20%2B%208%5Cpi)
(6)
De acuerdo con este resultado, el valor crítico está asociado al área superficial mínima. Ahora, la altura se calcula a partir de (5) y (1):
![h = \frac{V}{\pi\cdot \left(\frac{V}{2\pi} \right)^{2/3} }](https://tex.z-dn.net/?f=h%20%3D%20%5Cfrac%7BV%7D%7B%5Cpi%5Ccdot%20%5Cleft%28%5Cfrac%7BV%7D%7B2%5Cpi%7D%20%5Cright%29%5E%7B2%2F3%7D%20%7D)
![h = \frac{2^{2/3}\cdot \pi^{2/3}\cdot V}{\pi\cdot V^{2/3}}](https://tex.z-dn.net/?f=h%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2%2F3%7D%5Ccdot%20%5Cpi%5E%7B2%2F3%7D%5Ccdot%20V%7D%7B%5Cpi%5Ccdot%20V%5E%7B2%2F3%7D%7D)
![h = \frac{2^{2/3}\cdot V^{1/3}}{\pi^{1/3}}](https://tex.z-dn.net/?f=h%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2%2F3%7D%5Ccdot%20V%5E%7B1%2F3%7D%7D%7B%5Cpi%5E%7B1%2F3%7D%7D)
Si
, entonces las dimensiones del vaso son:
![r = \sqrt[3]{\frac{25\pi\,cm^{3}}{2\pi} }](https://tex.z-dn.net/?f=r%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B25%5Cpi%5C%2Ccm%5E%7B3%7D%7D%7B2%5Cpi%7D%20%7D)
![r \approx 2.321\,cm](https://tex.z-dn.net/?f=r%20%5Capprox%202.321%5C%2Ccm)
![h = \frac{2^{2/3}\cdot (25\pi\,cm^{3})^{1/3}}{\pi^{1/3}}](https://tex.z-dn.net/?f=h%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2%2F3%7D%5Ccdot%20%2825%5Cpi%5C%2Ccm%5E%7B3%7D%29%5E%7B1%2F3%7D%7D%7B%5Cpi%5E%7B1%2F3%7D%7D)
![h \approx 4.642\,cm](https://tex.z-dn.net/?f=h%20%5Capprox%204.642%5C%2Ccm)
Un litro equivale a 1000 centímetros cúbicos, las dimensiones del vaso son:
![r = \sqrt[3]{\frac{1000\,cm^{3}}{2\pi} }](https://tex.z-dn.net/?f=r%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B1000%5C%2Ccm%5E%7B3%7D%7D%7B2%5Cpi%7D%20%7D)
![r \approx 5.419\,cm](https://tex.z-dn.net/?f=r%20%5Capprox%205.419%5C%2Ccm)
![h = \frac{2^{2/3}\cdot (1000\,cm^{3})^{1/3}}{\pi^{1/3}}](https://tex.z-dn.net/?f=h%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5E%7B2%2F3%7D%5Ccdot%20%281000%5C%2Ccm%5E%7B3%7D%29%5E%7B1%2F3%7D%7D%7B%5Cpi%5E%7B1%2F3%7D%7D)
![h \approx 10.839\,cm](https://tex.z-dn.net/?f=h%20%5Capprox%2010.839%5C%2Ccm)