Question

Calculus helpppppppppppppppp

Answer 1

Answer:

$\displaystyle y' = \frac{5x^2 + 3}{3(1 + x^2)^\bigg{\frac{2}{3}}}$

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

• Equality Properties

Algebra I

• Functions
• Function Notation
• Exponential Rule [Root Rewrite]:                                                                     $\displaystyle \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Algebra II

• Logarithms and Natural Logs
• Logarithmic Property [Multiplying]:                                                                 $\displaystyle log(ab) = log(a) + log(b)$
• Logarithmic Property [Exponential]:                                                                $\displaystyle log(a^b) = b \cdot log(a)$

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Derivative Property [Multiplied Constant]:                                                              $\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)$

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                            $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)]$

Basic Power Rule:

• f(x) = cxⁿ
• f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                       $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Logarithmic Derivative:                                                                                                $\displaystyle \frac{d}{dx} [lnu] = \frac{u'}{u}$

Implicit Differentiation

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle y = x\sqrt[3]{1 + x^2}$

Step 2: Rewrite

1. [Equality Property] ln both sides:                                                                     $\displaystyle lny = ln(x\sqrt[3]{1 + x^2})$
2. Logarithmic Property [Multiplying]:                                                                 $\displaystyle lny = ln(x) + ln(\sqrt[3]{1 + x^2})$
3. Exponential Rule [Root Rewrite]:                                                                     $\displaystyle lny = ln(x) + ln \bigg[ (1 + x^2)^\bigg{\frac{1}{3}} \bigg]$
4. Logarithmic Property [Exponential]:                                                                $\displaystyle lny = ln(x) + \frac{1}{3}ln(1 + x^2)$

Step 3: Differentiate

1. ln Derivative [Implicit Differentiation]:                                                             $\displaystyle \frac{d}{dx}[lny] = \frac{d}{dx} \bigg[ ln(x) + \frac{1}{3}ln(1 + x^2) \bigg]$
2. Rewrite [Derivative Property - Addition]:                                                        $\displaystyle \frac{d}{dx}[lny] = \frac{d}{dx}[ln(x)] + \frac{d}{dx} \bigg[ \frac{1}{3}ln(1 + x^2) \bigg]$
3. Rewrite [Derivative Property - Multiplied Constant]:                                      $\displaystyle \frac{d}{dx}[lny] = \frac{d}{dx}[ln(x)] + \frac{1}{3}\frac{d}{dx}[ln(1 + x^2)]$
4. ln Derivative [Chain Rule]:                                                                                $\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \bigg( \frac{1}{1 + x^2} \bigg) \cdot \frac{d}{dx}[(1 + x^2)]$
5. Rewrite [Derivative Property - Addition]:                                                        $\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \bigg( \frac{1}{1 + x^2} \bigg) \cdot \bigg( \frac{d}{dx}[1] + \frac{d}{dx}[x^2] \bigg)$
6. Basic Power Rule]:                                                                                           $\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \bigg( \frac{1}{1 + x^2} \bigg) \cdot (2x^{2 - 1})$
7. Simplify:                                                                                                             $\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \bigg( \frac{1}{1 + x^2} \bigg) \cdot 2x$
8. Multiply:                                                                                                             $\displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{2x}{3(1 + x^2)}$
9. [Multiplication Property of Equality] Isolate y':                                                $\displaystyle y' = y \bigg[ \frac{1}{x} + \frac{2x}{3(1 + x^2)} \bigg]$
10. Substitute in y:                                                                                                  $\displaystyle y' = x\sqrt[3]{1 + x^2} \bigg[ \frac{1}{x} + \frac{2x}{3(1 + x^2)} \bigg]$
11. [Brackets] Add:                                                                                                 $\displaystyle y' = x\sqrt[3]{1 + x^2} \bigg[ \frac{5x^2 + 3}{3x(1 + x^2)} \bigg]$
12. Multiply:                                                                                                             $\displaystyle y' = \frac{(5x^2 + 3)\sqrt[3]{1 + x^2}}{3(1 + x^2)}$
13. Simplify [Exponential Rule - Root Rewrite]:                                                    $\displaystyle y' = \frac{5x^2 + 3}{3(1 + x^2)^\bigg{\frac{2}{3}}}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Implicit Differentiation

Book: College Calculus 10e