I suspect you mean
1/8 sin(4<em>t </em>) = 1/2 (cos³(<em>t</em> ) sin(<em>t</em> ) - sin³(<em>t</em> ) cos(<em>t</em> ))
On the right side, pull out a factor of cos(<em>t</em> ) sin(<em>t</em> ):
1/2 (cos³(<em>t</em> ) sin(<em>t</em> ) - sin³(<em>t</em> ) cos(<em>t</em> )) = 1/2 cos(<em>t</em> ) sin(<em>t</em> ) (cos²(<em>t</em> ) - sin²(<em>t</em> ))
Recall the double angle identities for sin and cos :
sin(2<em>t</em> ) = 2 sin(<em>t</em> ) cos(<em>t</em> )
cos(2<em>t</em> ) = cos²(<em>t</em> ) - sin²(<em>t</em> )
Then
… = 1/4 (2 cos(<em>t</em> ) sin(<em>t</em> )) (cos²(<em>t</em> ) - sin²(<em>t</em> ))
… = 1/4 sin(2<em>t</em> ) cos(2<em>t</em> )
… = 1/8 (2 sin(2<em>t</em> ) cos(2<em>t</em> ))
… = 1/8 sin(4<em>t</em> )