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muminat
2 years ago
7

Giải phương trình y"= lnx

Mathematics
1 answer:
kipiarov [429]2 years ago
3 0

Integrate both sides with respect to <em>x</em> :

y''(x) = \ln(x) \implies \displaystyle \int y''(x)\,\mathrm dx = \int \ln(x)\,\mathrm dx

On the right side, integrate by parts with

f = \ln(x) \implies \mathrm df = \dfrac{\mathrm dx}x \\\\ \mathrm dg = \mathrm dx \implies g = x

\implies \displaystyle \int\ln(x)\,\mathrm dx = fg - \int g\,\mathrm df \\\\ \int\ln(x)\,\mathrm dx= x\ln(x) - \int \mathrm dx \\\\ \int\ln(x)\,\mathrm dx= x\ln(x) - x + C_1

Then

\displaystyle y'(x) = x\ln(x) - x + C_1

Integrate both sides with respect to <em>x</em> by parts again, this time with

f = \ln(x) \implies \mathrm df = \dfrac{\mathrm dx}x \\\\ \mathrm dg = x\,\mathrm dx \implies g = \dfrac{x^2}2

\implies \displaystyle \int x\ln(x)\,\mathrm dx = fg-\int g\,\mathrm df \\\\ \int x\ln(x)\,\mathrm dx = \dfrac{x^2\ln(x)}2 - \int\frac x2\,\mathrm dx \\\\ \int x\ln(x)\,\mathrm dx = \dfrac{x^2\ln(x)}2-\dfrac{x^2}4 + C_2

Then

y(x) = \dfrac{x^2\ln(x)}2 - \dfrac{x^2}4 - \dfrac{x^2}2 + C_1x + C_2 \\\\ \boxed{y(x) = \dfrac{(2\ln(x)-3)x^2}4 + C_1x + C_2}

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The mathematical sign for the operation is subtraction.

<em>To</em><em> </em><em>Solve</em><em> </em><em>This</em><em> </em><em>You</em><em> </em><em>Will</em><em> </em><em>Need</em><em> </em><em>To</em><em>;</em>

<em>1</em><em>]</em><em> </em><em>The</em><em> </em><em>sign</em><em> </em><em>of</em><em> </em><em>the</em><em> </em><em>product</em><em> </em><em>of</em><em> </em><em>-</em><em>3</em><em>5</em><em> </em><em>and </em><em>-</em><em>6</em><em>2</em><em>5</em><em> </em><em>is</em><em>;</em>

<em>It's</em><em> </em><em>going </em><em>to</em><em> </em><em>be</em><em>;</em>

<em>-</em><em>3</em><em>5</em><em>-</em><em>-</em><em>6</em><em>2</em><em>5</em>

<em>The</em><em> </em><em>negative</em><em> </em><em>sign</em><em> </em><em>will</em><em> </em><em>turn</em><em> </em><em>into </em><em>addition </em><em>sign</em><em> </em><em>before </em><em>you </em><em>can </em><em>operate</em><em> </em><em>it</em><em>.</em><em> </em><em>So </em><em>it</em><em>'s</em><em> </em><em>going</em><em> </em><em>to </em><em>be</em><em>;</em>

<em>-</em><em>3</em><em>5</em><em>+</em><em>6</em><em>2</em><em>5</em><em>=</em><em>5</em><em>9</em><em>0</em><em>(</em><em>positive</em><em>)</em>

<em>It's</em><em> </em><em>just</em><em> </em><em>like</em><em> </em><em>subtracting </em><em>3</em><em>5</em><em> </em><em>from</em><em> </em><em>6</em><em>2</em><em>5</em><em>.</em>

<em>2</em><em>]</em><em> </em><em>The </em><em>sign</em><em> </em><em>of</em><em> </em><em>the</em><em> </em><em>product</em><em> </em><em>of </em><em>2</em><em>6</em><em>3</em><em> </em><em>and</em><em> </em><em>0</em><em> </em><em>is</em><em>;</em>

<em>2</em><em>6</em><em>3</em><em>-</em><em>0</em>

<em>With </em><em>this</em><em> </em><em>no</em><em> </em><em>qua</em><em>n</em><em>t</em><em>i</em><em>t</em><em>y</em><em> </em><em>is</em><em> </em><em>going</em><em> </em><em>to</em><em> </em><em>be</em><em> </em><em>subtracted </em><em>so</em><em> </em><em>the</em><em> </em><em>2</em><em>6</em><em>3</em><em> </em><em>will</em><em> </em><em>remain</em><em> </em><em>the</em><em> </em><em>same</em><em>.</em><em> </em>

<em>So</em><em> </em><em>2</em><em>6</em><em>3</em><em>-</em><em>0</em><em>=</em><em>2</em><em>6</em><em>3</em><em>(</em><em>positive</em><em>)</em>

<em>3</em><em>]</em><em> </em><em>The</em><em> </em><em>sign</em><em> </em><em>of </em><em>the</em><em> </em><em>product</em><em> </em><em>of</em><em> </em><em>-</em><em>2</em><em>1</em><em> </em><em>and</em><em> </em><em>4</em><em>5</em><em>1</em><em> </em><em>is</em><em>;</em>

<em>-</em><em>2</em><em>1</em><em>-</em><em>4</em><em>5</em><em>1</em>

<em>With </em><em>this</em><em> </em><em>you </em><em>won't</em><em> </em><em>subtract</em><em> </em><em>but</em><em> </em><em>rather</em><em> </em><em>you'll</em><em> </em><em>add</em><em> </em><em>and</em><em> </em><em>when</em><em> </em><em>you</em><em> </em><em>add</em><em> </em><em>the</em><em> </em><em>answer</em><em> </em><em>is</em><em> </em><em>going </em><em>to</em><em> </em><em>be</em><em> </em><em>-</em><em>4</em><em>7</em><em>2</em>

<em>-</em><em>4</em><em>7</em><em>2</em><em>(</em><em>negative</em><em>)</em>

<em>4</em><em>]</em><em> </em><em>The</em><em> </em><em>sign </em><em>of</em><em> </em><em>the</em><em> </em><em>product </em><em>of</em><em> </em><em>-</em><em>3</em><em>5</em><em>0</em><em> </em><em>and</em><em> </em><em>8</em><em>9</em><em> </em><em>is</em><em>;</em>

<em>-</em><em>3</em><em>5</em><em>0</em><em>-</em><em>8</em><em>9</em>

<em>With </em><em>this</em><em> </em><em>you</em><em> </em><em>will</em><em> </em><em>add</em><em> </em><em>it</em><em> </em><em>but</em><em> </em><em>you </em><em>won't</em><em> </em><em>subtract</em><em> </em><em>the</em><em> </em><em>negatives </em><em>so</em><em> </em><em>it's</em><em> </em><em>going</em><em> </em><em>to </em><em>be</em><em>;</em>

<em>-</em><em>3</em><em>5</em><em>0</em><em>-</em><em>8</em><em>9</em><em>=</em><em>-</em><em>4</em><em>3</em><em>9</em><em>(</em><em>negative</em><em>)</em>

<em>Hope </em><em>I</em><em> </em><em>am</em><em> </em><em>Correct </em><em>I</em><em> </em><em>didn't</em><em> </em><em>really</em><em> </em><em>understand</em><em> </em><em>your</em><em> </em><em>question</em><em> </em><em>well</em><em>.</em><em> </em><em>But</em><em> </em><em>Good</em><em> </em><em>Luck</em><em>:</em><em>)</em>

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