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Resolver sistemas lineales-cuadráticos
Probablemente hayas resuelto sistemas de ecuaciones lineales. Pero, ¿qué pasa con un sistema de dos ecuaciones donde una ecuación es lineal y la otra es cuadrática?
Podemos utilizar una versión del método de sustitución para resolver sistemas de este tipo.
Recuerde que la forma pendiente-intersección de la ecuación para una línea es y = mx + b, y la forma estándar de la ecuación para una parábola con un eje de simetría vertical es y = ax2 + bx + c, a ≠ 0.
Para evitar confusiones con las variables, escribamos la ecuación lineal como y = mx + d donde m es la pendiente yd es la intersección con el eje y de la recta.
Sustituye la expresión por y de la ecuación lineal, en la ecuación cuadrática. Es decir, sustituya y por mx + d en y = ax2 + bx + c.
mx + d = ax2 + bx + c
Ahora, vuelva a escribir la nueva ecuación cuadrática en forma estándar.
Resta mx + d de ambos lados.
(mx + d) - (mx + d) = (ax2 + bx + c) - (mx + d) 0 = ax2 + (b − m) x + (c − d)
Ahora tenemos una ecuación cuadrática en una variable, cuya solución se puede encontrar usando la fórmula cuadrática.
Las soluciones de la ecuación ax2 + (b − m) x + (c − d) = 0 darán las coordenadas x de los puntos de intersección de las gráficas de la recta y la parábola. Las coordenadas y correspondientes se pueden encontrar usando la ecuación lineal.
Otra forma de resolver el sistema es graficar las dos funciones en el mismo plano de coordenadas e identificar los puntos de intersección.
Ejemplo 1:
Encuentre los puntos de intersección entre la recta y = 2x + 1 y la parábola y = x2−2.
Sustituya 2x + 1 por y en y = x2−2.
2x + 1 = x2−2
Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.
2x + 1−2x − 1 = x2−2−2x − 10 = x2−2x − 3
Usa la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación cuadrática.
Aquí, a = 1, b = −2 y c = −3.
x = - (- 2) ± (−2) 2-4 (1) (- 3) √2 (1) = 2 ± 4 + 12√2 = 2 ± 42 = 3, −1
Sustituye los valores de x en la ecuación lineal para encontrar los valores de y correspondientes.
x = 3⇒y = 2 (3) +1 = 7x = −1⇒y = 2 (−1) +1 = −1
Por lo tanto, los puntos de intersección son (3,7) y (−1, −1).
Grafica la parábola y la línea recta en un plano de coordenadas.
Se puede usar un método similar para encontrar los puntos de intersección de una línea y un círculo.
Ejemplo 2:
Encuentre los puntos de intersección entre la línea y = −3x y el círculo x2 + y2 = 3.
Sustituye −3x por y en x2 + y2 = 3.
x2 + (- 3x) 2 = 3
Simplificar.
x2 + 9x2 = 310x2 = 3x2 = 310
Sacando raíces cuadradas, x = ± 310 −− √.
Sustituye los valores de x en la ecuación lineal para encontrar los valores de y correspondientes.
x = 310 −− √⇒y = −3 (310 −− √) = −33√10√x = −310 −− √⇒y = −3 (−310 −− √) = 33√10
Por lo tanto, los puntos de intersección son (3√10√, −33√10) y (−3√10√, 33√10).
Grafica el círculo y la línea recta en un plano de coordenadas.
... o una línea y una elipse.
Ejemplo 3:
Resuelve el sistema de ecuaciones y = −5 y x29 + y24 = 1.
Sustituye −5 por y en −5.
x29 + (- 5) 24 = 1
Simplificar.
x29 + (- 5) 24 = 14x236 + 9 (25) 36 = 14x2 + 225 = 364x2 = −189x2 = −1894
Aquí tenemos un número negativo como el cuadrado de un número. Entonces, las dos ecuaciones no tienen soluciones reales.
Grafica la elipse y la línea recta en un plano de coordenadas.
Podemos ver que los dos no se cruzan.
Step-by-step explanation:
HOLA
