This ODE is separable as
1/(6<em>x</em>) d<em>y</em>/d<em>x</em> = <em>y</em> √(3<em>x</em> ² - 1)
→ d<em>y </em>/ <em>y</em> = 6<em>x</em> √(3<em>x</em> ² - 1) d<em>x</em>
Integrate both sides:
∫ d<em>y </em>/ <em>y</em> = ∫ 6<em>x</em> √(3<em>x</em> ² - 1) d<em>x</em>
<em />
The left side is trivial. For the right side, substitute <em>u</em> = 3<em>x</em> ² - 1 and d<em>u</em> = 6<em>x</em> d<em>x</em> :
∫ d<em>y </em>/ <em>y</em> = ∫ √<em>u</em> d<em>u</em>
ln|<em>y </em>| = <em>u</em> ³′² + <em>C</em>
(that is, <em>u</em> is raised to the 3/2 power)
ln|<em>y</em> | = (3<em>x</em> ² - 1)³′² + <em>C</em>
<em />
Solve for <em>y</em> by taking the exponential of both sides:
exp(ln|<em>y</em> |) = exp((3<em>x</em> ² - 1)³′² + <em>C</em> )
<em>y</em> = exp((3<em>x</em> ² - 1)³′²) × exp(<em>C</em> )
<em>y</em> = <em>C</em> exp((3<em>x</em> ² - 1)³′²)
which can be written as
<em>y</em> = <em>C</em> exp(√((3<em>x</em> ² - 1)³))
which makes the answer none of these; this solution can't be expressed as either option given in A or B.
