1/(4a) & 5/(6a)
(3)(1/4a)=3/12a
(2)(5/6a)=10/12a
LCD=12a
Answer:
D. Every real number is also rational.
The slope of the tangent line to the curve at a point <em>(x, y)</em> is d<em>y</em>/d<em>x</em>. By the chain rule, this is equivalent to
d<em>y</em>/d<em>θ</em> × d<em>θ</em>/d<em>x</em> = (d<em>y</em>/d<em>θ</em>) / (d<em>x</em>/d<em>θ</em>)
where <em>y</em> = <em>r(θ)</em> sin(<em>θ</em>) and <em>x</em> = <em>r(θ)</em> cos(<em>θ</em>). Then
d<em>y</em>/d<em>θ</em> = d<em>r</em>/d<em>θ</em> sin(<em>θ</em>) + <em>r(θ)</em> cos(<em>θ</em>)
d<em>x</em>/d<em>θ</em> = d<em>r</em>/d<em>θ</em> cos(<em>θ</em>) - <em>r(θ)</em> sin(<em>θ</em>)
Given <em>r(θ)</em> = cos(3<em>θ</em>), we have
d<em>r</em>/d<em>θ</em> = -3 sin(3<em>θ</em>)
and so
d<em>y</em>/d<em>x</em> = (-3 sin(3<em>θ</em>) sin(<em>θ</em>) + cos(3<em>θ</em>) cos(<em>θ</em>)) / (-3 sin(3<em>θ</em>) cos(<em>θ</em>) - cos(3<em>θ</em>) sin(<em>θ</em>))
When <em>θ</em> = <em>π</em>/3, we end up with a slope of
d<em>y</em>/d<em>x</em> = (-3 sin(<em>π</em>) sin(<em>π</em>/3) + cos(<em>π</em>) cos(<em>π</em>/3)) / (-3 sin(<em>π</em>) cos(<em>π</em>/3) - cos(<em>π</em>) sin(<em>π</em>/3))
d<em>y</em>/d<em>x</em> = -cos(<em>π</em>/3) / sin(<em>π</em>/3)
d<em>y</em>/d<em>x</em> = -cot(<em>π</em>/3) = -1/√3
