(6<em>x</em> - 5<em>y</em> + 4) d<em>y</em> + (<em>y</em> - 2<em>x</em> - 1) d<em>x</em> = 0
(6<em>x</em> - 5<em>y</em> + 4) d<em>y</em> = (2<em>x</em> - <em>y</em> + 1) d<em>x</em>
d<em>y</em>/d<em>x</em> = (2<em>x</em> - <em>y</em> + 1) / (6<em>x</em> - 5<em>y</em> + 4)
Let <em>X</em> = <em>x</em> - <em>a</em> and <em>Y</em> = <em>y</em> - <em>b</em>. We want to find constants <em>a</em> and <em>b</em> such that
d<em>Y</em>/d<em>X</em> = (a rational function)
where the numerator and denominator on the right side are free of constant terms. Substituting <em>x</em> and <em>y</em> in the equation, we have
d<em>Y</em>/d<em>X</em> = (2 (<em>X</em> + <em>a</em>) - (<em>Y</em> + <em>b</em>) + 1) / (6 (<em>X</em> + <em>a</em>) - 5 (<em>Y</em> + <em>b</em>) + 4)
d<em>Y</em>/d<em>X</em> = (2<em>X</em> - <em>Y</em> + 2<em>a</em> - <em>b</em> + 1) / (6<em>X</em> - 5<em>Y</em> + 6<em>a</em> - 5<em>b</em> + 4)
Then we solve for <em>a</em> and <em>b</em> in the system,
2<em>a</em> - <em>b</em> + 1 = 0
6<em>a</em> - 5<em>b</em> + 4 = 0
==> <em>a</em> = -1/4 and <em>b</em> = 1/2
With these constants, the equation reduces to
d<em>Y</em>/d<em>X</em> = (2<em>X</em> - <em>Y</em>) / (6<em>X</em> - 5<em>Y</em>)
Now substitute <em>Y</em> = <em>VX</em> and d<em>Y</em>/d<em>X</em> = <em>X</em> d<em>V</em>/d<em>X</em> + <em>V</em> :
<em>X</em> d<em>V</em>/d<em>X</em> + <em>V</em> = (2<em>X</em> - <em>VX</em>) / (6<em>X</em> - 5<em>VX</em>)
The equation becomes separable after some simplification:
<em>X</em> d<em>V</em>/d<em>X</em> + <em>V</em> = (2 - <em>V</em>) / (6 - 5<em>V</em>)
<em>X</em> d<em>V</em>/d<em>X</em> = (2 - <em>V</em>) / (6 - 5<em>V</em>) - <em>V</em>
<em>X</em> d<em>V</em>/d<em>X</em> = (2 - <em>V</em> - (6 - 5<em>V</em>)) / (6 - 5<em>V</em>)
<em>X</em> d<em>V</em>/d<em>X</em> = (4<em>V</em> - 4) / (6 - 5<em>V</em>)
- (5<em>V</em> - 6) / (4<em>V</em> - 4) d<em>V</em> = 1/<em>X</em> d<em>X</em>
Integrate both sides:
-5/4 <em>V</em> + 1/4 ln|4<em>V</em> - 4| = ln|<em>X</em>| + <em>C</em>
Extract a constant from the logarithm on the left:
-5/4 <em>V</em> + 1/4 (ln(4) + ln|<em>V</em> - 1|) = ln|<em>X</em>| + <em>C</em>
-5/4 <em>V</em> + 1/4 ln|<em>V</em> - 1| = ln|<em>X</em>| + <em>C</em>
-5<em>V</em> + ln|<em>V</em> - 1| = 4 ln|<em>X</em>| + <em>C</em>
Get this back in terms of <em>Y</em> :
-5<em>Y/X</em> + ln|<em>Y/X</em> - 1| = 4 ln|<em>X</em>| + <em>C</em>
Now get the solution in terms of <em>y</em> and <em>x</em> :
-5 (<em>y</em> - 1/2)/(<em>x</em> + 1/4) + ln|(<em>y</em> - 1/2)/(<em>x</em> + 1/4) - 1| = 4 ln|<em>x</em> + 1/4| + <em>C</em>
<em />
With some manipulation of constants and logarithms, and a bit of algebra, we can rewrite this solution as
-5 (4<em>y</em> - 2)/(4<em>x</em> + 1) + ln|(4<em>y</em> - 4<em>x</em> - 3)/(4<em>x</em> + 1)| = 4 ln|<em>x</em> + 1/4| + 4 ln(4) + <em>C</em>
-5 (4<em>y</em> - 2)/(4<em>x</em> + 1) + ln|(4<em>y</em> - 4<em>x</em> - 3)/(4<em>x</em> + 1)| = 4 ln|4<em>x</em> + 1| + <em>C</em>
-5 (4<em>y</em> - 2)/(4<em>x</em> + 1) + ln|4<em>y</em> - 4<em>x</em> - 3| - ln|4<em>x</em> + 1| = 4 ln|4<em>x</em> + 1| + <em>C</em>
-5 (4<em>y</em> - 2)/(4<em>x</em> + 1) + ln|4<em>y</em> - 4<em>x</em> - 3| = 5 ln|4<em>x</em> + 1| + <em>C</em>
