Answer:
look it up
Step-by-step explanation:
Step-by-step explanation:
a)
![3X + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 1 & 6 \\ 10 & 14 \end{pmatrix} \\ \\ 3X = \begin{pmatrix} - 1 & 6 \\ 10 & 14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \\ \\ 3X = \begin{pmatrix} - 1 - 2 & 6 - 3 \\ 10 - 4 & 14 - 5 \end{pmatrix}\\ \\ 3X = \begin{pmatrix} - 3 & 3 \\ 6 & 9\end{pmatrix}\\ \\ X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} - 3 & 3 \\ 6 & 9\end{pmatrix}\\ \\ X = \begin{pmatrix} \frac{ - 3}{3} & \frac{3}{3} \\ \\ \frac{6}{3} & \frac{9}{3} \end{pmatrix}\\ \\ \huge \red{ X} = \purple{ \begin{pmatrix} - 1 &1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}}](https://tex.z-dn.net/?f=%203X%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202%20%26%203%20%5C%5C%204%20%26%205%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%20-%201%20%26%206%20%5C%5C%2010%20%26%2014%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%203X%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%20-%201%20%26%206%20%5C%5C%2010%20%26%2014%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20-%20%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202%20%26%203%20%5C%5C%204%20%26%205%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%203X%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%20-%201%20-%202%20%26%206%20-%203%20%5C%5C%2010%20-%204%20%26%2014%20-%205%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C%20%20%5C%5C%203X%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%20%20-%203%20%26%203%20%5C%5C%206%20%26%209%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C%20%20%5C%5C%20X%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%20%20-%203%20%26%203%20%5C%5C%206%20%26%209%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C%20%20%5C%5C%20X%20%20%3D%20%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%20%5Cfrac%7B%20-%203%7D%7B3%7D%20%20%26%20%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B6%7D%7B3%7D%20%20%26%20%5Cfrac%7B9%7D%7B3%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Chuge%20%5Cred%7B%20X%7D%20%20%3D%20%20%5Cpurple%7B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%20-%201%20%20%261%20%20%5C%5C%202%20%26%203%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%7D)
b)
![3X + 2I_3=\begin{pmatrix} 5 & 0 & -3 \\6 & 5 & 0\\ 9 & 6 & 5\end{pmatrix} \\\\3X + 2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 0 & - 3\\6 & 5 & 0\\ 9 & 6 & 5 \end{pmatrix} \\\\3X + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 0 & - 3\\ 6 & 5 & 0 \\ 9 & 6 & 5 \end{pmatrix} \\\\3X =\begin{pmatrix} 5 & 0 & -3 \\ 6 & 5 & 0 \\ 9 & 6 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\\\3X =\begin{pmatrix} 5-2 & 0-0 & -3-0 \\ 6-0 & 5-2 & 0-0 \\ 9-0 & 6-0 & 5-2 \end{pmatrix} \\\\3X =\begin{pmatrix} 3 & 0 & - 3 \\ 6 & 3 & 0 \\ 9 & 6 & 3 \end{pmatrix} \\\\X =\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & - 3 \\ 6 & 3 & 0 \\ 9 & 6 & 3 \end{pmatrix} \\\\X =\begin{pmatrix} \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{-3}{3} \\\\ \frac{6}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} \\\\ \frac{9}{3} & \frac{6}{3} & \frac{3}{3} \end{pmatrix} \\\\\huge\purple {X} =\orange{\begin{pmatrix} 1 & 0 & - 1\\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}}\\](https://tex.z-dn.net/?f=%203X%20%2B%202I_3%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%205%20%26%200%20%26%20-3%20%5C%5C6%20%26%205%20%26%200%5C%5C%209%20%26%206%20%26%205%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%5C%5C%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%3E3X%20%2B%202%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%201%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%205%20%26%200%20%26%20-%203%5C%5C6%20%26%205%20%26%200%5C%5C%209%20%26%206%20%26%205%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%5C%5C%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%3E3X%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202%20%26%200%20%26%200%5C%5C%200%20%26%202%20%26%200%5C%5C%200%20%26%200%20%26%202%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%205%20%26%200%20%26%20-%203%5C%5C%206%20%26%205%20%26%200%20%5C%5C%209%20%26%206%20%26%205%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%5C%5C%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%3E3X%20%20%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%205%20%26%200%20%26%20-3%20%5C%5C%206%20%26%205%20%26%200%20%5C%5C%209%20%26%206%20%26%205%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20-%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%202%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%202%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%5C%5C%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%3E3X%20%20%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%205-2%20%26%200-0%20%26%20-3-0%20%5C%5C%206-0%20%26%205-2%20%26%200-0%20%5C%5C%209-0%20%26%206-0%20%26%205-2%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%5C%5C%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%3E3X%20%20%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%203%20%26%200%20%26%20-%203%20%5C%5C%206%20%26%203%20%26%200%20%5C%5C%209%20%26%206%20%26%203%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%5C%5C%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%3EX%20%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%203%20%26%200%20%26%20-%203%20%5C%5C%206%20%26%203%20%26%200%20%5C%5C%209%20%26%206%20%26%203%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%5C%5C%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%3EX%20%20%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%20%20%26%20%5Cfrac%7B0%7D%7B3%7D%20%20%26%20%5Cfrac%7B-3%7D%7B3%7D%20%5C%5C%5C%5C%20%5Cfrac%7B6%7D%7B3%7D%20%20%26%20%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%20%20%26%20%5Cfrac%7B0%7D%7B3%7D%20%5C%5C%5C%5C%20%5Cfrac%7B9%7D%7B3%7D%20%20%26%20%5Cfrac%7B6%7D%7B3%7D%20%20%26%20%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5C%5C%5C%5C%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%3C%2Fp%3E%3Cp%3E%5Chuge%5Cpurple%20%7BX%7D%20%3D%5Corange%7B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%20%26%200%20%26%20-%201%5C%5C%202%20%20%26%201%20%26%200%20%5C%5C%203%20%20%26%202%20%20%26%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%7D%5C%5C%20)
Answer:
The circulation of the field f(x) over curve C is Zero
Step-by-step explanation:
The function
and curve C is ellipse of equation
![16x^{2} + 4y^{2} = 3](https://tex.z-dn.net/?f=16x%5E%7B2%7D%20%2B%204y%5E%7B2%7D%20%3D%203)
Theory: Stokes Theorem is given by:
![I= \int \int\limits {{Curl f\cdot \hat{N }} \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=I%3D%20%5Cint%20%5Cint%5Climits%20%7B%7BCurl%20f%5Ccdot%20%5Chat%7BN%20%7D%7D%20%5C%2C%20dx)
Where, Curl f(x) = ![\left[\begin{array}{ccc}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\frac{∂}{∂x} &\frac{∂}{∂y} &\frac{∂}{∂z} \\F1&F2&F3\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%5Chat%7Bi%7D%26%5Chat%7Bj%7D%26%5Chat%7Bk%7D%5C%5C%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%26%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%26%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82z%7D%20%5C%5CF1%26F2%26F3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Also, f(x) = (F1,F2,F3)
![\hat{N} = grad(g(x))](https://tex.z-dn.net/?f=%5Chat%7BN%7D%20%3D%20grad%28g%28x%29%29)
Using Stokes Theorem,
Surface is given by g(x) = ![16x^{2} + 4y^{2} - 3](https://tex.z-dn.net/?f=16x%5E%7B2%7D%20%2B%204y%5E%7B2%7D%20-%203)
Therefore, tex]\hat{N} = grad(g(x))[/tex]
![\hat{N} = grad(16x^{2} + 4y^{2} - 3)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Chat%7BN%7D%20%3D%20grad%2816x%5E%7B2%7D%20%2B%204y%5E%7B2%7D%20-%203%29)
![\hat{N} = (32x,8y,0)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Chat%7BN%7D%20%3D%20%2832x%2C8y%2C0%29)
Now, ![f(x)=(x^{2},4x,z^{2})](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%28x%5E%7B2%7D%2C4x%2Cz%5E%7B2%7D%29)
Curl f(x) = ![\left[\begin{array}{ccc}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\frac{∂}{∂x} &\frac{∂}{∂y} &\frac{∂}{∂z} \\F1&F2&F3\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%5Chat%7Bi%7D%26%5Chat%7Bj%7D%26%5Chat%7Bk%7D%5C%5C%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%26%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%26%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82z%7D%20%5C%5CF1%26F2%26F3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Curl f(x) = ![\left[\begin{array}{ccc}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\frac{∂}{∂x} &\frac{∂}{∂y} &\frac{∂}{∂z} \\x^{2}&4x&z^{2}\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%5Chat%7Bi%7D%26%5Chat%7Bj%7D%26%5Chat%7Bk%7D%5C%5C%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%26%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%26%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82z%7D%20%5C%5Cx%5E%7B2%7D%264x%26z%5E%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Curl f(x) = (0,0,4)
Putting all values in Stokes Theorem,
![I= \int \int\limits {Curl f\cdot \hat{N} } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=I%3D%20%5Cint%20%5Cint%5Climits%20%7BCurl%20f%5Ccdot%20%5Chat%7BN%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx)
![I= \int \int\limits {(0,0,4)\cdot(32x,8y,0)} \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=I%3D%20%5Cint%20%5Cint%5Climits%20%7B%280%2C0%2C4%29%5Ccdot%2832x%2C8y%2C0%29%7D%20%5C%2C%20dx)
![I= \int \int\limits {(0,0,4)\cdot(32x,8y,0)} \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=I%3D%20%5Cint%20%5Cint%5Climits%20%7B%280%2C0%2C4%29%5Ccdot%2832x%2C8y%2C0%29%7D%20%5C%2C%20dx)
I=0
Thus, The circulation of the field f(x) over curve C is Zero
4 because 4 times 24 equals 96 then 96 divided by 3 equals 32